Принцип суперпозиции
Тринадцатая часть введения в КМ.
На примере операторов спина по осям z и x мы видели, что амплитуды вероятности, составляемые из разных собственных векторов одного и того же оператора равны нулю. Математически равенство нулю скалярного произведения означает, что векторы ортогональны. Данный факт не является просто случайностью. Оказывается все собственные векторы любого эрмитового оператора ортогональны друг другу. Но ортогональные друг другу векторы можно использовать в качестве базисных векторов. Поэтому мы подходим к интересному наблюдению:
Собственные векторы эрмитового оператора формируют базис.
Мы выделяли в качестве постулата тот факт, что после измерения система описывается одним из базисных векторов. Но это не означает, что все используемые векторы состояния в квантовой механике базисные. Наоборот, базисные векторы можно использовать для построения произвольных векторов. Или можно сказать, произвольный вектор состояния можно разложить на сумму базисных.
Данное утверждение известно как принцип суперпозиции.
Возьмем например в качестве базисных, собственные векторы оператора спина по оси z, обозначаемые нами стрелками вверх и вниз. Тогда согласно принципу суперпозиции наиболее общий вектор состояния можно представить их суммой с определенными комплексными коэффициентами.
В седьмой части мы говорили, что коэффициенты в разложении вектора по базисным можно представить как скалярное произведение вектора состояния с соответствующим базисным вектором. То есть коэффициенты есть амплитуды вероятности при измерении обнаружить систему в состоянии «спин вверх» и «спин вниз». Квадрат их абсолютного значения есть вероятность. Сумма вероятностей осуществления всех альтернативных событий должна сходится к 100%. То есть для коэффициентов разложения мы имеем дополнительное условие. Но поскольку эти амплитуды не что иное как компоненты вектора, данное ограничение говорит нам, что вектор должен быть единичной длины. Точнее единичной нормы. То есть это всего-лишь условие нормировки векторов.
Следует понимать, что сам вектор состояния и приведенная суперпозиция ненаблюдаемы в принципе. Согласно приводимому в 9 части постулату, называемому также постулатом об измерении, после измерения вектор состояния переходит в один из базисных векторов, соответствующий измеренному собственному значению. Данный процесс также называется коллапс вектора состояния. И мы можем предсказать лишь вероятности перехода вектора состояния в тот или иной базисный вектор. Они как раз равны квадрату абсолютного значения соответствующих амплитуд вероятности, то есть комплексных чисел с1 и с2.
Как видите мы не можем узнать в результате измерения значения самих этих коэффициентов. Измерение затирает информацию о них. Два комплексных числа переходят просто в единицу и ноль. Если нам заранее неизвестно состояние системы, то есть компоненты вектора состояния, то мы не можем посчитать вероятности. Благо при измерении, вектор коллапсирует в один из базисных. И по результату измерения мы даже узнаем в какой. Именно поэтому в рассматриваемых мысленных экспериментах Штерна-Герлаха нам нужно как минимум два прибора. Говорят, что первый подготавливает исходное состояние, а второй собственно нужен для измерения. На самом деле мы уже неявно имели дело с суперпозициями когда вычисляли амплитуды следующего вида:
Справа стоит собственный вектор оператора спина по оси z, а слева собственный вектор оператора по оси x. Но ведь один и тот же вектор можно представить в различном базисе. Вектор вверх можно, например, представить суперпозицией базисных векторов оператора спина по оси x. Можно убедиться в справедливости выражения просто подставив конкретные численные представления векторов.
В данной записи становится наглядно, что если в данный момент мы имеем спин, ориентированным вверх по z, то при измерении спина относительно оси x, мы получим 50%-ю вероятность отклонения электрона влево и 50%-ю вправо. Можно и непосредственно вычислить требуемую амплитуду вероятности с помощью формализма бра- и кет- векторов. Ее квадрат абсолютного значения как раз равен 50%.
