Неравенства Белла

Эйнштейн пытался объяснить квантовые корреляции менее экзотическим способом, чем квантовая механика с ее абстрактными векторами состояния. Ему не нравилась идея, что свойства объектов не определены до фактического измерения. Известна его цитата: «Вы правда считаете, что Луна существует, только когда вы на неё смотрите?».

Эйнштейн полагал, что квантовая механика является лишь приближенной теорией раз она оперирует только вероятностями.

Рассмотрим еще раз опыт по измерению спинов в запутанном синглетном состоянии. Если мы измеряем спины по одинаковой оси, скажем по z, то мы обнаруживаем антикорреляции. Спины двух частиц случайны, но всегда противоположно направлены. Если же измерения проводятся по перпендикулярным осям, то корреляции отсутствуют. Спины двух частиц случайны и не связаны друг с другом.

Эйнштейн рассуждал так. Пусть действительно спин нельзя измерить одновременно по оси z и по оси х. Но это не значит, что спин не был определен. Предположим, что он определен сразу и по z и по x. Тогда возможны четыре варианта: Спин у частицы может быть направлен вверх по z и вверх по х, вверх по z и вниз по х, вниз по z и вверх по х и вниз по z и вниз по х.

Пусть мы хотим получить корреляции, наблюдаемые с опытом для частиц в синглетном состоянии. Для этого достаточно предположить, что при образовании пары частиц в синглетном состоянии их направления спинов по осям определены, но противоположно направлены. То есть для частицы со спинами вверх по z и вверх по х синглетной парой будет частица со спинами вниз по z и вниз по х. Для частицы вверх по z и вниз по х будет вниз по z и вверх по х. И так далее.

Если предположить, что каждая из четырех пар образуется равновероятно, то мы повторим все результаты по измерению спинов, предсказываемые квантовой механикой. Если мы измерили спин вверх по z первой частицы, то спин второй точно будет вниз по z. То есть наши частицы или первого или второго типа. Однако если мы у второй частицы захотим измерить спин по оси x, то он может оказаться как вверх так и вниз. Если попалась частица первого типа, то спин по х будет вниз, а если второго, то вверх.

Заметьте, что в любом случае спин нашей частицы определен, просто мы еще не знаем какой он. Тут уже не идет речи о влиянии измерения одной частицы на другую. Ведь спины строго определены всегда. Измерение ничего не делает со спинами, просто показывает их значение. Все как в привычной классической механике. В то же время результаты совпадают с квантовомеханическими расчетами и результатами экспериментов.

В таком духе Эйнштейн хотел переформулировать всю квантовую механику на языке классической физики. Однако Джон Белл показал, что уже в случае трех осей, предсказания такой модели расходятся с предсказаниями квантовой механики и следовательно с экспериментальными данными.

Вместо двух осей z и х будем измерять спины по одной из трех осей: z, х и промежуточную между ними, направленную под углом 45 градусов. Для простоты будем обозначать их 0°, 45° и 90°. Спины у частиц могут быть направлены вверх или вниз по каждой из осей. То есть теперь имеем 2³ то есть 8 различных вариантов. Вверх по оси 0°, вверх по оси 45°,  вверх по оси 90°. Вверх по оси 0°, вверх по оси 45°,  вниз по оси 90°. И так далее. Вторая частица синглетной пары как и в случае двух осей будет иметь противоположные спины чтобы сохранить антикорреляции.

Давайте даже не будем предполагать, что рождение частиц каждой пары равновероятно. Пусть мы имеем какой-то набор частиц в синглетном состоянии. Обозначим за N1 количество частиц со спинами вверх по всем трем осям. За N2 вверх по оси 0°, вверх по оси 45°, вниз по оси 90°. И так далее.

Джон Белл написал такое неравенство:

То есть количество частиц у которых спин направлен вверх по оси 0° и вниз по оси 45° плюс количество частиц у которых спин направлен вверх по оси 45° и вниз по оси 90° больше или равно количеству частиц у которых спин направлен вверх по оси 0° и вниз по оси 90°. Данное неравенство легко проверить воспользовавшись нашей табличкой. Количество частиц у которых спин направлен вверх по оси 0° и вниз по оси 45° это N3+N4. Количество частиц у которых спин направлен вверх по оси 45° и вниз по оси 90° это N2+N6. Количество частиц у  которых спин вверх по оси 0° и вниз по оси 90° это N2+N4. Раскрыв скобки видно что неравенство удовлетворяется тривиально. В случае если N3 и N6 равны нулю мы получим равенство. В противном случае левая сторона больше правой. Поделив каждую из N на общее количество частиц N1+N2+N3+… можно перейти к аналогичному неравенству для вероятностей.

Сами неравенства тривиальны. Нетривиально то, что эти неравенства нарушаются в случае квантовой механики. Следовательно нельзя считать спины имеющими определенное значение до фактического измерения. И спин не является исключением, а скорее служит простейшим примером. Любые характеристики квантовых объектов не определены до измерения.