GHZ, отсутствие объективной реальности и рождение КМ

Помимо рассмотренных нами ранее неравенств Белла и парадокса Харди, GHZ- эксперимент также демонстрирует отсутствие объективной реальности.

Продолжим анализ из предыдущего видео. Три частицы в GHZ-состоянии разлетаются в разные стороны галактики. Мы видели, что если первый наблюдатель измеряет спин по х, а два других по у, то спины при измерении случайны, но их произведение всегда дает +1. Реализуются только 4 из 8 вариантов когда вниз отклонится либо две либо ни одной частицы.

Циклическим сдвигом можно получить такие же свойства для двух других комбинаций осей.

Пусть второй наблюдатель измеряет спин по Х, а первый и третий по Y. Вследствие симметрии между наблюдателями результат будет тот же. Последний вариант это когда третий измеряет спин по Х, а первый и второй по Y.

Давайте опять подойдем к этим экспериментам с позиции Эйнштейна, то есть с точки зрения так называемого реализма, утверждающего об объективном существовании характеристик объектов. Тогда можно предположить, что спины были определены и до момента измерения. Предположим, что спины по разным осям, то есть величины s, есть просто сложные функции от каких-то других скрытых переменных. Они определены уже при образовании частицы и просто изменяются по какому-то алгоритму, который мы еще не знаем. Корреляции  можно объяснить просто изначальной синхронизацией этих алгоритмов при образовании трех частиц. При измерении спины кажутся случайными просто потому, что мы не знаем деталей работы этого алгоритма.

То есть все происходит наподобие работы генератора псевдослучайных чисел. Корреляции сохраняются потому что алгоритмы генераторов синхронизированы и детерминированы. Два одинаковых алгоритма генерации псевдослучайных чисел при одинаковом начальном заполнении будут выдавать одинаковые данные, кажущиеся с первого взгляда случайными.

Проследим к чему приводит такая логика. Из экспериментов нам известно, что при измерении каждого спина мы получим либо +1 либо -1. Но произведения этих трех спинов для двух осей Y и одной X всегда дают +1. Для трех различных комбинаций осей мы можем записать три равенства:

Но из этой системы уравнений можно сделать предсказание и для четвертого выбора осей. Из трех равенств следует, что s¹_x *s²_x *s³_x  также равно +1. То есть если мы проведем измерения всех трех спинов по оси х, произведение результатов должно также всегда давать +1.

Откуда следует этот вывод? Все достаточно элементарно. Давайте просто перемножим три приведенных равенства. s²_y* s²_y даст единицу поскольку спин может быть либо +1 либо -1. Квадрат что единицы, что минус единицы все равно дает +1. То же самое для s³_y* s³_y и для s¹_y* s¹_y.

В итоге получим, что s¹_x *s²_x *s³_x  дает +1.

Однако проведя соответствующие квантовомеханические расчеты мы увидим совершенно противоположный результат. Квантовая механика предсказывает, что произведение трех спинов по оси х даст -1. Либо один либо три спина окажутся направленными вниз. Вероятности поменяются. Реализовываться будут другие четыре комбинации.

Можно показать, что GHZ-состояние также является собственным вектором оператора составленного из трех Х-матриц Паули, но с собственным значением -1.

Проверим в матлабе. Поменяем в программе из предыдущего видео Y на Х. Запустив, мы видим, что получившийся вектор отличается от исходного знаком минус.

Мы опять получили противоречие классической логики, предполагающей объективную реальность, и квантовой механики. Проводимые реальные эксперименты как и ожидалось подтверждают именно квантовомеханические расчеты. При измерении спина по трем осям Х, вниз отклоняется нечетное количество частиц.

Корень отличий опять кроется в том, что измеряемые величины в квантовой механике представляются не числами или сложными функциями от каких-то скрытых переменных, а эрмитовыми операторами. Эти операторы в общем случае не коммутируют.

Вместо переменных спина s необходимо использовать операторы спина – фактически матрицы Паули. Но теперь мы не можем просто сократить  c другим . Действительно  в квадрате дает единицу, точнее единичную матрицу. Но нам надо поставить две сигмы вместе чтобы их перемножить. То есть необходимо перенести сигма из с одного конца выражения в другой. Это тривиально для чисел, но в случае матриц надо следить коммутирует ли данная матрица с другими или нет. Сигма 3х коммутирует с сигма 2х   потому что они относятся к разным частицам. То же самое и с другой сигма . Но далее нам надо переставить местами сигма2х и сигма2y. Вот здесь и появляется минус. Матрицы Паули антикоммутируют. В классической механике в случае обычных чисел или функций мы получаем плюс, а не минус.

Нарушение операторами коммутативного свойства приводит к тому, что квантовую механику невозможно никак съимитировать классической физикой где перемножение функций можно производить в любом порядке.

Удивительно, что исторически Гейзенберг пришел к необходимости таких некоммутирующих переменных чисто из экспериментальных данных по спектрам атомов. С данной статьи 1925-го года принято отсчитывать рождение квантовой механики. Гейзенберг в ней пишет: «Хотя в классической теории x(t)y(t) всегда равно y(t)x(t), это не обязательно так в квантовой теории».  Гейзенберг изначально считал это недостатком своей теории. Чуть позднее Дирак показал, что это не баг, а фича теории.

До квантовой механики матрицы не появлялись в физике и были известны только математикам. Отцы-основатели квантовой механики фактически переоткрыли всю алгебру матриц: правило умножения «строка на столбец» и основные свойства. Дирак изначально называл такие объекты не матрицами или операторами, а  q-числами. Лишь позднее было осознано, что эти объекты в чистой абстрактрой математике уже известны под другим названием.

Удивительно как абстрактная математика появляется из результатов физических экспериментов.