Проблема измерения

К настоящему моменту, спустя целых 33 выпуска, у нас наконец есть все ингредиенты, чтобы более подробно поговорить об измерении, наблюдателях, наблюдениях, интерпретациях и тому подобных вещах. Аспект связанный с измерением является самым обсуждаемым и критикуемым со стороны лжеученых. Объем неверной информации просто зашкаливает.

Напомним как математика квантовой механики описывает процесс измерения. Пусть мы хотим измерить какую-то физическую величину. Ей соответствует эрмитов оператор. Собственные значения этого оператора есть возможные результаты измерения. Каждому собственному значению соответствует собственный вектор оператора. Набор собственных векторов эрмитового оператора формирует базис. Мы можем разложить по этому базису текущий вектор состояния системы. Геометрической аналогией является разложение вектора на сумму базисных в декартовой системе координат.

Измерение приводит к коллапсу вектора состояния в один из базисных, причем в тот, который соответствует измеренному собственному значению. Вероятность, что вектор состояния коллапсирует в конкретно взятый базисный вектор находится по правилу Борна. Она равна квадрату абсолютного значения скалярного произведения вектора состояния с этим базисным вектором.

Мы также можем найти эту вероятность как ожидаемое значение соответствующего оператора проекции. Каждому собственному вектору можно поставить в соответствие оператор проекции.

Коллапс вектора состояния можно представить как его проецирование на направление одного из базисных векторов. Если скажем при измерении мы получили собственное значение a1, то все компоненты, кроме той что при базисном векторе |a1>, обнуляются. Данный переход можно описать как действие соответствующего оператора проекции на исходный вектор. То есть стрелочку можно заменить умножением оператора проекции.

Измерение удобно представлять себе как проекцию вектора состояния в Гильбертовом пространстве на подпространство меньшей размерности.

В 20-й части мы приводили следующий двухкубитный вектор. Наиболее общий двухкубитный вектор живет в четырехмерном Гильбертовом пространстве, поскольку имеет 4 компоненты. Но данный вектор находится в трехмерном Гильбертовом подпространстве, поскольку компонента четвертого базисного вектора равна нулю. Если мы измерим спин первого электрона и он окажется «вверх», то вектор спроецируется на одномерное подпространство.

В случае обычных векторов в трехмерном Евклидовом пространстве это была бы линия по направлению базисного вектора. Такой коллапс описывается действием соответствующего оператора проекции.

Но если мы получили спин направленным вниз, то вектор проецируется на двумерное подпространство, образованное базисными векторами «вниз-вверх» и «вниз-вниз». В случае геометрических векторов в Евклидовом пространстве это была бы плоскость, образованная парой базисных векторов.  Соответствующий оператор проекции можно представить суммой двух операторов.

Последующее измерение второго спина спроецирует вектор на одномерное подпространство, образованное либо вектором «вниз-вверх», либо вектором «вниз-вниз».

С течением времени векторы могут переходить и обратно из подпространств меньшей размерности в подпространства большей размерности. Унитарные операторы эволюции во времени позволяют такие переходы. То есть если какие-то компоненты вектора состояния равны нулю в начальный момент времени это не значит, что они обязательно останутся равны нулю в последующие моменты времени. Например, если кубит находится в одномерном подпространстве, образованным вектором |0>, то гейт Адамара переведет его в двумерное пространство, формируемое векторами |0> и |1>.

Получается, с точки зрения наблюдателя, все что происходит с вектором состояния это либо его изменение во времени, описываемое действием унитарного оператора эволюции, либо процесс измерения, описываемый действием оператора проекции. Проблема заключается в том, что операторы проекции не являются унитарными операторами. При проекции длина вектора изменяется. После проекции необходимо заново нормировать вектор перед тем как применять следующий оператор эволюции. Но ведь предполагается, что процесс измерения это точно такой же физический процесс, протекающий во времени. Согласно постулату все изменения вектора состояния во времени должны описываться унитарными операторами.

Кажется, что мы получили несогласованность самой квантовой механики. С одной стороны, все изменения вектора состояния описываются унитарными операторами, но с другой процесс измерения описывается операторами проекции, которые не унитарны. Данное кажущееся противоречие известно как «Проблема измерения».  Принцип унитарной эволюции проверен с колоссальной точностью и считается сейчас одним из самых фундаментальных и незыблемых законов Природы. С другой стороны, без измерений и правила Борна квантовая механика бесполезна. Она не давала бы никаких предсказаний, которые можно сравнить с экспериментом. Как же согласовать эти два на первый взгляд несовместимых постулата?