Двухщелевой эксперимент

Квантовая механика позволяет предсказать только вероятности осуществления тех или иных событий. Но она кардинальным образом отличается от классической теории вероятностей. Продемонстрируем эти отличия на знаменитом примере двухщелевого эксперимента.

Лазер испускает фотоны в направлении пластины с двумя щелями за которой расположен фоточувствительный экран. Давайте посмотрим что будет происходить с точки зрения классической механики и теории вероятностей.

Пусть фотон изначально имеет небольшую случайную неопределенность в направлении движения. Он может либо попасть в пластинку и поглотиться, либо попасть в одну из двух щелей. Можно считать, что при прохождении щели он как-то взаимодействует с пластинкой и при выходе его направление движения также имеет некоторую долю случайности.

Но ожидается, что если фотон прошел верхнюю щель, то вероятнее всего он попадет в область фоточувствительного экрана напротив этой щели. Вероятность уменьшается по мере удаления от центра щели. Само распределение вероятностей можно представить непрерывной функцией с максимумом, расположенным напротив щели.

То же самое справедливо и для второй щели. Фотон прошедший вторую щель имеет большую вероятность оставить точку на экране напротив этой щели.

В теории вероятностей, вероятности альтернативных возможностей складываются. То есть общая функция распределения вероятности равна сумме этих двух функций. В зависимости от степени их наложения мы можем получить разные графики. Но вид будет примерно следующим.

Вероятность попадания фотона в точку x равна вероятности, что он попал туда через первую щель плюс вероятности, что он попал туда через вторую. Так для точки напротив центра экрана в силу симметрии вероятности равны и мы получим: два умножить на вероятность попадания через первую щель.

При закрытии второй щели мы получаем первое распределение, при закрытии первой – второе. Если две щели открыты мы получаем сумму этих распределений. Все вроде бы логично.

Но проведя реальный эксперимент мы получим совершенно другую картину. Мы увидим появление интерференционных минимумов и максимумов. Все происходит потому, что в квантовой механике закон сложения вероятностей не работает.

Обозначим исходный вектор состояния фотона за пси. Прохождение им через первую или через вторую щель есть две взаимоисключающие возможности, поэтому их можно взять за базис. В таком базисе после прохождения двухщелевой пластинки фотон будет описываться квантовой суперпозицией: |прошел через верхнюю щель>+|прошел через нижнюю>. Координаты точек на фотопластинке также можно взять за базисные векторы. Если фотон попал в точку с координатой x₁, то он точно не попал в точку с координатой x₂.

Домножим наш вектор слева на бра вектор x. Мы получили выражения для амплитуд вероятностей. Амплитуда попадания фотона в точку с координатой x равна амплитуде, что он попал в х через верхнюю щель плюс амплитуда, что он попал туда через нижнюю. Это общее правило: амплитуды вероятности альтернативных возможностей складываются. То есть в отличие от теории вероятностей, складываются не вероятности, а амплитуды.

Разложим векторы |верх> и |низ> в таком координатном базисе. В принципе точек бесконечно много, поэтому необходимо заменить сумму интегралом, но не будем усложнять. Каждой координате x_i соответствует амплитуда вероятности a_i попадания туда через верхнюю щель и b_i через нижнюю. Сам вектор пси в таком базисе представляется следующей суммой. Опять видим, что амплитуды складываются.

Согласно правилу Борна вероятность находится возведением в квадрат абсолютного значения соответствующей амплитуды вероятности. В нашем случае в координатном базисе эта амплитуда представляется суммой двух амплитуд. Мы получили четыре слагаемых. Первые два есть произведение комплексного числа на свое сопряжение, то есть квадрат абсолютного значения или вероятность. Они соответствуют классическим вероятностям, которые мы ранее обозначали за P1 и P2. Но мы имеем еще два слагаемых, которые нарушают классический закон сложения вероятностей. Именно они несут ответственность за интерференцию.

Так для точки напротив центра экрана в силу симметрии амплитуды a и b равны друг другу. Все четыре слагаемых оказываются одинаковыми и мы получаем общую вероятность равной четыре умножить на вероятность попадания через первую щель. Мы получали результат вдвое больше классического случая где множитель равнялся двум. Мы наблюдаем не что иное как интерференционный максимум.

Если провести более детальный анализ, рассчитать явный вид функции распределения вероятностей, то мы увидим интерференционную картину – чередование максимумов и минимумов. Мы даже будем иметь места с нулевой вероятностью попадания туда фотона. При открытой только одной верхней щели мы имеем ненулевые вероятности попадания в эти точки. При открытой только второй — тоже ненулевые значения. Но при открытии обеих щелей, вероятности в этих точках, в противоречии с нашей интуицией и теорией вероятностей, вдруг окажутся нулевыми. Ни один фотон не попадет в эти интерференционные минимумы.

Все это есть следствие того, что в квантовой механике складываются не вероятности, а амплитуды вероятностей альтернативных возможностей. То есть в конечном счете из-за принципа суперпозиции.

Как же наблюдатели влияют на интерференцию и почему наблюдение через какую из щелей проходит фотон приводит к потере интерференции?

Вспомним, что наблюдение есть формирование запутанного состояния между измеряемой системой и измерительным прибором. Если прибор измерил через какую из щелей прошел фотон, то мы имеем следующую суперпозицию:

|фотон прошел через верхнюю щель>|прибор измерил, что фотон прошел верхнюю щель>+|фотон прошел через нижнюю щель >|прибор измерил, что фотон прошел нижнюю щель>

Далее при разложении вектора состояния фотона по координатному базису точек на экране мы получим следующее выражение. Заметьте, что присутствие вектора состояния измерительного прибора не позволяет скомбинировать амплитуды вероятностей и получить их сумму. Теперь итоговая вероятность равна |a|² + |b|², то есть сумме классических вероятностей прохождения через первую и вторую щели. Интерференционные слагаемые отсутствуют и мы вернулись к классическому результату.

Часто в научпопе можно услышать, что именно наблюдатель смотря на прибор приводит к исчезновению интерференции. Но это просто неверно. Возникновение запутанных состояний с внешней средой препятствует интерференции. Сам наблюдатель непосредственно не влияет на наличие или отсутствие интерференции. Наблюдателю не обязательно смотреть на показания прибора чтобы разрушить интерференцию. Даже не обязательно иметь измерительный прибор как таковой.

Сам факт наличия информации о том через какую из щелей прошел фотон, то есть формирование запутанного состояния фотона, приводит к невозможности складывать амплитуды вероятностей и, следовательно, интерференционные члены отсутствуют. Складывать амплитуды можно только в случае, когда информация о том какая из альтернатив реализовалась отсутствует в Природе.

Можно теперь примерно понять почему классическая механика является хорошим приближением в случае макрообъектов. Макротела непрерывно взаимодействуют с окружающей средой. Вокруг нас всегда присутствует электромагнитное излучение и прочие частицы. Все вокруг квантовозапутано друг с другом, интерференционные члены отсутствуют и мы наблюдаем справедливость закона сложения вероятностей и существование объективного мира, которое из него следует. Именно поэтому на практике можно считать, что коллапс вектора состояния происходит на первом же макроскопическом объекте.

Лишь изолировав систему от окружающей среды можно наблюдать квантовые эффекты и отклонение от закона сложения вероятностей. Оптические системы наиболее просты в этом смысле поскольку фотон слабо взаимодействует с окружающей средой. Поэтому его нельзя представлять себе как классическую микрочастицу, движущуюся в пространстве. Фотон объективно не существует до измерения и, следовательно, не обладает классическими характеристиками, такими как траектория движения. Бессмысленно спрашивать через какую из щелей прошел фотон если само прохождение не оказалось запутанным с другими системами.