Уравнение Гейзенберга

В представлении  Гейзенберга операторы наблюдаемых величин меняются во времени, а вектор состояния постоянен. Изменение оператора во времени как мы говорили в 40 части также описывается действием унитарных операторов эволюции.

Возьмем производную по времени от обоих частей равенства. В правой части у нас стоит произведение, поэтому воспользуемся формулой для дифференцирования произведения. Матрица оператора в начальный момент времени А0 не зависит от времени и является константой. Правило применяется для операторов эволюции. Берется производная от первого, а второй не меняется плюс первый умножается на производную от второго.

Теперь чтобы уйти от производных оператора эволюции воспользуемся уравнением Шредингера. Его эрмитово-сопряженный вариант выглядит следующим образом. Мы поменяли знак у мнимой единицы и порядок умножения операторов H и U. Помним, что при сопряжении произведения матриц, порядок их следования меняется. Сам гамильтониан эрмитов, поэтому крестик мы не поставили.

Итак, подставим значения производных в наше выражение. Вставим между гамильтонианом и нашим оператором единичную матрицу в виде произведения оператора эволюции на свое сопряжение. Сгруппируем множители. Мы получили операторы, зависящие от времени, которые мы обозначаем индексом t. Заметьте также, что справа получился коммутатор НА-АН.

Если считать, что мы работаем в представлении Гейзенберга где операторы меняются во времени, то индексы можно не писать.

Мы получили уравнение Гейзенберга. Оно является аналогом уравнения Шредингера. То есть описывает временную эволюцию, но уже в представлении Гейзенберга. Видим, что эволюция оператора А также определяется гамильтонианом. Сам оператор Гамильтона на самом деле со временем не меняется, поскольку он коммутирует с оператором эволюции.

Глядя на уравнение Гейзенберга можно сразу заметить несколько следствий. Например, если физическая величина не меняется во времени, то есть всегда постоянна, то ее производная по времени равна нулю. Говорят, что такая величина сохраняется.  

Но из уравнения мы видим, что при этом коммутатор этой величины с гамильтонианом становится равным нулю.

То есть закон сохранения в квантовой механике можно переформулировать в таком интересном виде: Если оператор наблюдаемой величины коммутирует с гамильтонианом, то эта величина сохраняется.

Например, это тривиально для энергии, поскольку гамильтониан это и есть оператор энергии, а коммутатор любой матрицы с самой собой всегда равен нулю.

Любопытно, что исторически уравнение Гейзенберга первым получил не Гейзенберг, а Дирак. Причем в самой первой же своей работе по квантовой механике, еще в 1925 году. До того как Шредингер опубликовал свое уравнение и до того как была осознана общая математическая структура квантовой механики в виде операторов и векторов в Гильбертовом пространстве. Дирак пришел к уравнению совершенно другим  способом, чем нами описанный. Без использования уравнения Шредингера и операторов эволюции.

Дирак на тот момент даже не был лично знаком с Гейзенбергом. Он ориентировался только на его статью в которой одним из результатов было появление некоммутирующих переменных. Статья Дирака вышла всего через 3 месяца после первой основополагающей статьи Гейзенберга.

Удивительно как работает мозг гениев. Нам простым смертным приходится тратить месяцы и годы просто чтобы понять и осознать, что же они сделали.