Каноническое коммутационное соотношение
Продолжим разговор про координатный базис.
Мы видели, что амплитудам вероятности обнаружить частицу в точке x ставится в соответствие комплекснозначная волновая функция. В предыдущем видео мы также выяснили, что оператору импульса соответствует оператор взятия производной по координате, умноженный на –i. Чему же соответствует сам оператор координаты?
Подействуем оператором х на вектор состояния пси. Домножим слева на базисный вектор х, чтобы перейти к амплитудам вероятностей в координатном базисе. Такому выражению как раз соответствует действие оператора х на волновую функцию.
Оператор х эрмитов, а значит мы можем по-другому расставить скобки в произведении и действовать им на базисные х-векторы. Но они являются собственными и поэтому все действие сводится просто к умножению на число. Мы получили, что действие оператора координаты на волновую функцию в координатном базисе сводится к умножению ее на саму числовую переменную х.
Мы много раз говорили, что две величины нельзя знать одновременно, если их операторы не коммутируют. Зная конкретное представление операторов координаты и импульса можно легко посчитать этот коммутатор.
Представим, что он действует на некоторую волновую функцию пси.
Взять производную от функции, а потом умножить ее на х не то же самое, что сначала умножить функцию на х, а потом взять производную от получившегося произведения. Поэтому в итоге мы не обязаны получить нулевой результат. И действительно, после применения правила дифференцирования произведения, производные сокращаются, но мнимая единица умноженная на пси остается.
То есть сам коммутатор координаты и импульса равен i – мнимой единице. Опять у нас появилась эта пресловутая мнимая единица. Во всех важных местах в квантовой механике появляются комплексные числа. В уравнении Шредингера, в уравнении Гейзенберга, в коммутаторах.
Коммутатор двух эрмитовых операторов есть антиэрмитов оператор. То есть оператор, который при сопряжении дает -1, умноженную на исходный оператор. Именно поэтому справа не может стоять простое действительное число. Нужна мнимая единица, которая при умножении делает из антиэрмитового оператора эрмитов.
В любом случае, мы получили, что коммутатор не равен нулю, а значит согласно постулатам квантовой механики координату и импульс частицы невозможно знать одновременно.
Данное выражение называется каноническим коммутационным соотношением. Макс Борн получил его, анализируя первую работу Гейзенберга по новой квантовой механике. Он понял, что переменные, используемые Гейзенбергом являются матрицами. Он знал, что в общем случае матрицы не коммутируют и посчитал коммутатор этих двух важных физических величин.
Дирак примерно в то же самое время независимо получил каноническое коммутационное соотношение, но из совершенно иных идей. Он обнаружил, что аналогом коммутаторов, в классической Ньютоновской механике являются так называемые скобки Пуассона.
Если вернуться к размерной постоянной Планка, то она также появляется в коммутаторе. Тогда можно явно видеть как квантовая механика сводится к классической. В классической механике кванты отсутствуют и постоянная Планка равна нулю. Соответственно все коммутаторы физических величин становятся нулевыми. Все наблюдаемые величины коммутируют друг с другом и поэтому представляются просто числовыми переменными или функциями от числовых переменных. И все их можно знать одновременно. Измерение одной не влияет на другую.
При ненулевой постоянной Планка мы уже не можем представить наблюдаемые величины числами. Числа коммутируют, а квантовые наблюдаемые нет. Из-за того, что постоянная Планка в привычных нам единицах измерения имеет очень малую величину, квантовые эффекты при обычных размерах чрезвычайно малы. Мы можем пренебречь малой величиной постоянной Планка и получим обычную Ньютоновскую механику с числами и функциями вместо матриц и операторов.
Именно поэтому Ньютоновская механика является следствием квантовой, всего лишь удобным приближением в случае макрообъектов. Обратное неверно. Нельзя получить квантовую механику из классической. Числа и операторы — это два разных математических объекта. В одном случае коммутативный закон умножения работает, а в другом нет. Число есть частный случай матрицы – матрица 1х1. И матрицы 1х1 коммутируют, но наиболее общие матрицы не коммутируют.
