Теория групп 10 — Группа кватернионов

Комплексные числа рассматривались еще Эйлером. Гаусс пришел к их геометрической интерпретации в виде точки на плоскости. Как мы видели в предыдущем видео с помощью них можно описать повороты на плоскости.

Уильям Роуэн Гамильтон, тот самый который нашел альтернативную формулировку Ньютоновской механики и в честь которого в квантовой механике назван оператор энергии, он решил найти обобщение комплексных чисел чтобы аналогичным образом описать вращения в трехмерном пространстве.

Первая его идея была такая. Давайте добавим еще одну комплексную единицу j, квадрат которой также будет равен -1. Тогда по аналогии с комплексными числами, умножение числа на свое сопряжение должно дать квадрат длины вектора. Раскроем скобки. Видим, что получается лишнее слагаемое. Но его можно убрать, если предположить, что ij=-ji. То есть две мнимые единицы должны антикоммутировать.

Однако Гамильтон заметил, что если умножить два произвольных числа такой формы друг на друга, то мы не получим число той же формы. Слагаемое с множителем ij не убирается даже если считать, что ij=-ji. То что ij=-ji не значит, что ij=0. Это же не обычные числа. Получается, что алгебра таких чисел не замкнута. В отличие от комплексных чисел, умножение двух таких чисел не дает число такого же вида. Это плохо.

Гамильтону оставалось только обозначить произведение ij за новое число k, добавить его к исходному определению чисел и посмотреть, что получится.

Попробуем опять найти квадрат длины вектора, умножив исходное число на сопряженное. Мы получим требуемую нам сумму квадратов если k²=-1, ik=-ki и jk=-kj.

Чему же равно произведение ik.  По определению k=ij. Подставив видим, что ik=-j. Алгебра трех мнимых единиц замкнута. Можно также убедиться, что произведения двух произвольных чисел такого вида дадут число такого же вида. Гамильтон назвал такие числа кватернионами. Квадрат любой из мнимых единиц равен -1. Все они антикоммутируют друг с другом. И их алгебра замкнута. Можно сгруппировать все свойства записав i²=j²=k²=ijk=-1.

Однако заметьте, что Гамильтон хотел получить аналог комплексного числа, но для трехмерных вращений, а у получившегося кватерниона 4 компоненты вместо трех. Изначально Гамильтон хотел уйти от первой компоненты и определить вектор как оставшиеся три компоненты, стоящие с i j k. Да, сам термин ‘вектор’ также придумал Гамильтон для обозначения таких урезанных кватернионов. И до сих пор декартовы базисные векторы часто обозначаются буквами I j k.

Но проблема с такими урезанными или как говорят чистыми кватернионами та же самая. Умножение двух произвольных чистых кватернионов не дает чистый кватернион. Кватернион опять получается общего вида. Алгебра чистых кватернионов не замкнута.

Вторая проблема с чистыми кватернионами заключается в том, что если по аналогии с комплексными числами попытаться осуществить с помощью них поворот, то опять же в общем случае получится не чистый, а общий кватернион. И даже если в частных случаях, когда ось вращения перпендикулярна исходному вектору и в результате получается чистый кватернион, даже в этих случаях поворот будет на вдвое меньший угол. То есть мнимая единица получается поворачивает не на угол pi, а на угол pi/2.

Все это привело к тому, что в свое время идеи Гамильтона не получили широкого распространения. Из кватернионов оставили только чистые кватернионы, то есть векторы. А вместо произведения кватернионов стали рассматривать отдельно две векторные операции, которые сейчас называются скалярное и векторное произведение.

Если перемножить два чистых кватерниона, получим скалярную часть, то есть обычное число, сумма квадратов координат, плюс векторная часть, коэффициенты при I j k. Вид этих получающихся коэффициентов как раз и определяет правило векторного произведения.

В общем из красивого математического объекта – кватерниона – с операцией обычного умножения оставили только его часть – вектор – и две отдельные операции с этой частью – скалярное и векторное произведение. Которые кстати изначально и получены из рассмотрения кватернионов.

Обидно, что Гамильтон не догадался, что для кватернионов, в отличие от комплексных чисел и векторов, для поворота необходимо подействовать на кватернион с двух сторон. Сейчас кватернионы полностью реабилитированы и используются в компьютерной графике чаще, чем векторы или матрицы поворотов. Операции с ними более просты – обычное умножение, и не требовательны к вычислительным ресурсам в отличие от матриц.

Как мы сейчас знаем, числа ±i,j,k совместно с ±1 формируют дискретную группу, называемую группой кватернионов и обозначаемую Q.

Теория представлений говорит, что этим абстрактным элементам можно поставить в соответствие некие матрицы. Принято мнимые единицы I j k представлять как –i, умноженная на следующие матрицы. В физике они известны как матрицы Паули. Мы также знаем, что повороты вектора в трехмерном пространстве формируют группу Ли под названием SO(3). Какую группу Ли можно получить из кватернионов обсудим в следующем видео.