Относительность 4 — Преобразования Лоренца и сверхсветовое движение

Существует множество способов вывести преобразования Лоренца. Сам Лоренц получил их довольно сложным путем. Он заметил, что в отличие от закона Ньютона, уравнения электродинамики Максвелла не инвариантны относительно преобразований Галилея перехода к другой системе отсчета. И он решил найти такие преобразования координат, при которых уравнения Максвелла не меняют свой вид.

Оказалось, что преобразования Галилея корректируются неким множителем, зависящим от скорости, Лоренц-фактором. Тот самый множитель с корнем, который мы в предыдущем видео получили из чисто физических рассмотрений анализируя световые часы. Давайте найдем выражение для гамма еще одним способом.

Преобразования Галилея должны работать в пределе малых скоростей, поэтому функция гамма зависит от скорости и стремится к единице при малых скоростях.

Все СО симметричны друг относительно друга. Если первая движется относительно второй со скоростью v, то вторая движется относительно первой в противоположную сторону с такой же скоростью. То есть вектор скорости просто меняет знак на противоположный. Поэтому обратные преобразования (для х через х’) должны отличаться от исходных только противоположным знаком скорости.

Перемножим одно выражение на другое. Далее мы используем то, что скорость света одинакова во всех СО. То есть  x=ct и x’=ct’. Подставим вместо x и x’ ct и ct’. Почти все сократится и мы получим выражение для Лоренц-фактора гамма. Связь t и t’ можно найти из исходной системы подставив выражение для x’ из одного в другое.

Данные выражения известны как Преобразования Лоренца. Конечно мы использовали больше алгебры, чем физики. Но вы можете выбрать свой любимый способ вывода преобразований Лоренца. Их сейчас, наверное, несколько десятков.

Все современные теории элементарных частиц и их взаимодействий инвариантны относительно преобразований Лоренца. Также как и в случае классической электродинамика Максвелла, вид уравнений не меняется при переходе к другой СО посредством преобразований Лоренца. Стоит ли упоминать, что ни единого расхождения с экспериментом никогда не наблюдалось.

Из преобразований Лоренца сразу же вытекает релятивистский закон сложения скоростей. Пусть ракета движется относительно Земли со скоростью v. Ее СО будем обозначать штрихами. Внутри ракеты игрушечная машинка движется со скоростью u относительно ракеты. Вопрос, с какой скоростью w эта машинка двигается относительно наблюдателя с Земли.

В ньютоновской механике все просто, необходимо просто сложить эти две скорости. Это не так в теории относительности. Используем обратные преобразования Лоренца, связывающие х и t с х’ и t’. Скорость это производная от координаты по времени dx по dt, поэтому перепишем выражения в виде дифференциалов dx и dt. Поделим dx на dt. Поделим числитель и знаменатель на dt’.  dx’/dt’ это и есть скорость машинки u с точки зрения наблюдателя в ракете. И мы получили, что наблюдатель с Земли видит не u+v, а меньшую скорость.

Из данной формулы можно видеть, что скорость света – это максимально возможная скорость, которую нельзя превысить. Подставляя любые скорости результат всегда будет меньше скорости света. Если скорость u принять равной скорости света, то есть вместо машинки рассмотреть световой луч, то формула опять даст скорость света с. Прибавляя любую скорость к скорости света все равно получим скорость света.

На диаграмме Минковского увеличение скорости соответствует увеличению угла наклона траектории. Она будет приближаться к траектории света (линии под углом 45 градусов), но никогда не пересечет ее.

Что же произойдет, если все же предположить существование сверхсветовых скоростей. Пусть в нулевой момент времени космический корабль вылетает с Земли и движется к Альфа-Центавре со сверхсветовой скоростью. Он достигает ее скажем в момент t1. Такая траектория наклонена под углом большим 45 градусов. События отправки и прибытия оказываются соединены пространственноподобным интервалом. Но мы видели во 2 части, когда говорили об относительности одновременности, что порядок наступления событий, разделенных пространственноподобным интервалом наблюдается разным из разных СО. То есть из некоторых СО сначала будет наблюдаться прибытие корабля и лишь потом его отправка. Существование сверхсветовых скоростей приводит к нарушению причинно-следственных связей. Следствие может происходить раньше причины. Сначала загорается лампочка и лишь потом включают выключатель. Сначала рождаетесь вы и лишь затем ваши родители встречают друг друга. В общем сверхсветовые скорости эквивалентны движению назад во времени и приводят к тем же самым парадоксам, что и гипотетические путешествия в прошлое на машине времени. Обе вещи невозможны в нашей Вселенной.