Относительность 10 — Дуальные векторы
Давайте еще раз остановимся на индексных обозначениях.
Мы говорили о 4-векторах, обозначаемых одним верхним индексом — греческой буквой. Название буквы не имеет значения. Сам индекс пробегает 4 значения 0,1,2,3 или что то же самое t,x,y,z. Мы можем записать 4-вектор в вектор-столбец.
Также мы говорили, что преобразования Лоренца можно представить объектом с двумя индексами – один верхний и один нижний. Тогда, действуя преобразованиями Лоренца на исходный вектор, мы получаем компоненты 4-вектора в другой СО.
Здесь согласно соглашению Эйнштейна суммирование происходит по индексу ню, поскольку он встречается дважды – вверху и внизу.
Лямбду с двумя индексами можно мыслить как квадратную матрицу 4х4. Тогда соглашение Эйнштейна просто кодирует правило матричного умножения «строка на столбец». Верхний индекс кодирует строку, нижний – столбец.
Первая строка первый столбец умножается на первый столбец первая строка плюс первая строка второй столбец умноженный на первый столбец вторая строка плюс и т.д. Получаем первую нулевую компоненту штрихованного вектора (мю штрих =0). Также получаем первую, вторую и третью компоненту.
Компоненты матриц лямбда можно записать и в явном виде. Это нули, единицы и гиперболические синусы и косинусы. Угол поворота связан со скоростью движения СО.
Но по определению, преобразования Лоренца — это преобразования не меняющие длину 4-вектора. Помимо гиперболических поворотов в плоскостях t-x, t-y, t-z (Лоренцевых бустов) длину также не меняют и обычные трехмерные повороты в плоскостях x-y, y-z, z-x. Таким образом матрицы обычных поворотов тоже входят в так называемую группу Лоренца. Они также могут скрываться за нашим обозначением лямбда.
Еще мы встречали другой объект с двумя индексами – метрику Минковского. Но у нее все 2 индекса мы располагали внизу. Преобразования Лоренца используются чтобы компоненты вектора представить в другой СО – то есть просто меняются численные значения компонент 4-вектора. Вектор переводится в вектор. Но метрика действует по-другому. Она переводит два 4-вектора в число.
Мы ее использовали чтобы найти квадрат длины вектора. Для этого метрика умножается на два идентичных 4-вектора. В индексной записи будет так:
Суммирование происходит по двум индексам: мю и ню. Два индекса вверху, два индекса внизу, после суммирования они уходят и результатом будет просто число — скаляр.
Но давайте сначала просуммируем по одному индексу, то есть умножим метрику на один 4-вектор. Тогда согласно правилу обращения с индексами, несуммируемые индексы справа и слева равенства должны совпадать. Мы получим, что результирующий объект должен иметь один нижний индекс.
Такой объект с одним нижним индексом называется дуальным вектором.
По определению дуальным к данному вектору называется вектор, умножение которого на исходный вектор дает квадрат его длины.
То есть квадрат длины можно переписать как произведение дуального вектора на исходный. Верхний и нижний индексы суммируются и опять получаем скаляр.
Давайте рассмотрим то же самое в терминах матриц. Матрица метрики Минковского это матрица 4х4 с диагональными элементами (1 -1 -1 -1). При умножении ее на вектор-столбец все действие сводится к смене знака трех пространственных компонент. Но потом мы должны иметь возможность умножить данный объект на 4-вектор (вектор столбец), поэтому у нас должна получиться вектор-строка. То есть дуальный вектор в матричном представлении это вектор-строка с такими же компонентами как и у исходного вектора, только с противоположным знаком у пространственных компонент. Таким образом в матричном представлении надо еще выполнить операцию транспонирования.
При умножении такой строки на вектор столбец как раз получим квадрат длины вектора в пространстве Минковского.
Действие метрики можно рассматривать и с другой точки зрения. Можно считать метрику тем инструментом с помощью которого можно опускать индексы. У нас был 4-вектор с верхним индексом, а получился дуальный вектор с нижним индексом.
Можно задастся вопросом, а можно ли также и поднимать индексы? Но для этого нам нужна метрика с двумя верхними индексами. Тогда умножив ее на дуальный вектор получим 4-вектор.
Но если сначала опустить индекс, а потом поднять, то в итоге должен получиться исходный вектор. Это значит, что матрица метрики с двумя верхними индексами является обратной к матрице метрики с двумя нижними индексами. Их произведение должно ничего не делать с вектором.
В индексных обозначениях единичная матрица обозначается символом Кронекера с одним верхним и одним нижним индексом.
Для метрики Минковского обратная матрица оказывается той же самой матрицей.
Давайте вернемся к преобразованиям Лоренца лямбда. Мы хотим узнать как выглядят аналогичные матрицы, действующие на дуальные векторы.
Квадрат длины 4-вектора не меняется при преобразованиях Лоренца. Но его можно найти как произведение дуального вектора на данный. Выходит, что матрица преобразований Лоренца дуального вектора является обратной матрицей к матрице преобразований Лоренца. Их произведение должно дать единичную матрицу. Компоненты дуальных векторов при смене СО преобразуются действием обратных преобразований Лоренца.
Дуальные векторы иногда также называются ковариантными векторами или иногда 1-формами, частным случаем дифференциальных форм.
Обычные 4-векторы иногда называют контравариантными векторами. И верхние индексы соответственно называют контравариантными, а нижние ковариантными. Но мы не будем так делать, поскольку слова верхние и нижние проще запомнить, чем ковариантные и контравариантные.
Также мы не встречали метрику и дуальные векторы в школьной геометрии потому что в случае обычного евклидового пространства метрика равна единичной матрице и дуальные векторы идентичны обычным векторам. Как мы видим это не так в пространстве Минковского СТО. В Римановом пространстве ОТО все еще немного сложнее.
