Квантовая механика 52 — Формализм матрицы плотности
Матрица плотности является обобщением векторов состояния. Поэтому всю математику с бра- и кет- векторами следует заменить действиями с матрицей плотности. Переформулируем некоторые приводимые нами ранее формулы на языке матрицы плотности.
Среднее или ожидаемое значение наблюдаемой величины, описываемой оператором A находится по следующей формуле. Мы рассматривали ее в 23 части. Но она справедлива только если система находится в чистом состоянии пси. Нам нужно обобщить ее на случай смешанных состояний, описываемых матрицей плотности.
Нам понадобится вот такая вот формула из линейной алгебры, которую приведем без доказательства. То есть ожидаемое значение можно переписать как след (trace) от произведения оператора А на оператор проекции, полученный из состояния пси. След это просто сумма диагональных элементов матрицы. Кстати одно из свойств следа, что порядок произведения матриц под ним можно менять даже если матрицы не коммутируют.
Но оператор проекции в случае смешанных состояний как раз и переходит в матрицу плотности. То есть ожидаемое значение — это просто след от произведения матрицы плотности на оператор наблюдаемой величины.
В 24 части мы видели, что вероятность при измерении обнаружить систему в состоянии фи равна ожидаемому значению оператора проекции. Соответственно при замене чистого состояния на смешанное вероятность равна следу от произведения матрицы плотности и оператора проекции.
В 31 части мы узнали, что эволюция вектора состояния во времени описывается действием унитарного оператора эволюции. Матрица плотности определяется как сумма операторов проекции. Подействуем оператором эволюции на бра-векторы и эрмитово-сопряженным оператором на кет-векторы. В силу линейности операторов их можно вынести за знак суммы. Мы получим, что изменение во времени матрицы плотности описывается умножением слева на оператор эволюции и справа на сопряженный оператор эволюции.
В 34 части мы рассматривали процесс измерения и описывали его действием оператора проекции на вектор состояния. Это математическое описание так называемого коллапса волновой функции. Опять же представив матрицу плотности в виде суммы операторов проекции и действуя операторами проекции на бра- и кет-векторы получим матрицу плотности после измерения. Можно даже не ставить операцию эрмитового сопряжения у правого оператора проекции потому что операторы проекции эрмитовы.
Также как и для вектора состояния, матрицу плотности после этого надо перенормировать. Кстати у отнормированных матриц плотности след равен единице. Это следует из того, что ее диагональные элементы это и есть вероятности. Данный факт можно видеть из определения матрицы плотности через сумму операторов проекции, умноженных на вероятности.
