Квантовая механика 53 — Критерии чистоты состояния
Давайте рассмотрим несколько конкретных матриц плотности. Например, если спин электрона находится в состоянии вверх по z, то соответствующая матрица плотности будет иметь следующий вид.
Она описывает чистое состояние и поэтому является просто оператором проекции вверх по z.
Возьмем суперпозицию вверх плюс вниз по z. Матрица плотности будет иметь следующий вид. Она также описывает чистое состояние и является оператором проекции.
Возьмем теперь смешанное состояние: 30% вверх по z и 70% вверх по x. Получится такая вот матрица плотности.
Если посмотреть на все три матрицы, то можно заметить, что по диагонали идут вероятности. В первом случае мы со 100%-ной вероятностью при измерении получим вверх по z. Во втором случае 50% что окажется вверх и 50% что вниз. В третьем случае с 65%-й вероятностью получим вверх по z и с 35%-й вниз по z.
Матрица плотности содержит всю информацию о системе, поэтому из нее можно извлечь информацию, например о том с какой вероятностью спин окажется вниз по x. Вероятность равна следу от произведения матрицы плотности и соответствующего оператора проекции. Посчитаем для нашего третьего случая смешенного состояния. Получается, что с 15%-ной вероятностью спин при измерении окажется вниз по x.
Глядя на саму матрицу плотности сложно на вид сказать описывает она чистое или смешанное состояние. Однако существует несколько способов проверки. Самое простое это проверить удовлетворяет ли она свойствам оператора проекции. Ведь для чистого состояния матрица плотности — это просто оператор проекции.
Так для оператора проекции PP=P. То есть если мы помножим матрицу плотности саму на себя и получим в результате ту же самую матрицу, то она описывает чистое состояние.
Можно убедиться, что это так для нашей первой и второй матрицы, но не для третьей.
Другой способ заключается в том, что необходимо найти собственные значения матрицы плотности. Для чистого состояния они все кроме одного будут нулями, а один будет единицей.
Найдем собственные векторы и значения для нашей второй матрицы плотности, описывающей суперпозицию вверх и вниз по z. Действительно получается одно единичное собственное значение и ему соответствует собственный вектор [0.707 0.707]. Мы уже встречали этот вектор. Он описывает состояние вверх по х.
Оказывается, матрицу плотности можно разложить на сумму собственных значений, умноженную на операторы проекции, составленные из собственных векторов.
То есть для нашей второй матрицы получается:
И это значит, что если повернуть прибор по оси x, то все электроны отклонятся вверх.
А для третьей получается так:
И это значит, что как ни поворачивай прибор штерна-герлаха никогда 100% электронов не будут откланяться в одну сторону. Также в случае смешенного состояния мы разложили нашу матрицу плотности по другим операторам проекции нежели изначальные вверх по z и вверх по х. Это опять же демонстрирует неоднозначность представления матрицы плотности векторами состояния. Кстати видно, что собственные значения играют роль вероятностей. В чем же особенность собственных векторов матрицы плотности по сравнению со множеством других векторов из которых можно получить ту же самую матрицу плотности. Их отличие в том, что они ортогональны.
Можете убедиться, что полученные собственные векторы для нашего случая смешанного состояния ортогональны, тогда как векторы вверх по z и вверх по x не ортогональны.
