Теория групп 19 — Спиноры Вейля

Итак, мы выяснили, что представление группы Лоренца в виде матриц 4х4, действующих на 4-векторы, является лишь одним из множества возможных.

Мы определили новые матрицы N+ и N- из генераторов поворотов и бустов и нашли их коммутационные соотношения. Используя символ Леви-Чевиты все их можно записать тремя строчками.

Коммутаторы N+ совпадают с коммутаторами алгебры su(2). А поскольку набор коммутаторов полностью характеризует алгебру Ли, то выходит, что три матрицы N+ являются представлением алгебры su(2). То же касается коммутаторов трех матриц N-. Последний коммутатор говорит, что N+ не независит от N-. Их можно рассматривать отдельно друг от друга. И мы т.о. видим, что представления алгебры Лоренца можно классифицировать двумя числами (n, m), каждое из которых принимает либо целое либо полуцелое значение в соответствии с классификацией представлений алгебры su(2).

Давайте теперь рассмотрим некоторые из этих представлений подробнее.

Самое простое это представление (0, 0).

Оно тривиально. Это матрицы 1х1, то есть числа. Единственно возможное число, удовлетворяющее коммутационным соотношениям для N+ и N- это ноль.

Таким образом элемент группы, получаемый экспоненцированием равен единице. Это тождественное преобразование, ничего не делающее с объектом на которое оно действует. И такое представление называется скалярным представлением. Скаляр как раз не меняется при действии элементов группы Лоренца.

Второе по простоте представление обозначается числами (1/2, 0).

Первое число — это представление j=1/2 в терминологии 17 части цикла. То есть три матрицы N+ это просто матрицы Паули с коэффициентом ½.

N- по прежнему остается нулем.

Теперь мы можем вернуться от N+ и N- к генераторам поворотов J и бустов K.

По определению N- = (J-iK)/2 и оно в данном представлении равно нулю. Соответственно J = iK.

N+ по определению равен (J+iK)/2 Поскольку J = iK, то N+= iK

Но N+ это ½ матрицы Паули.

Соответственно матрица буста  K=-i/2 сигма.

Поскольку как мы нашли J=iK. Явный вид матрицы поворота J=1/2 сигма.

Таким образом мы нашли явный вид матриц генераторов поворотов и бустов в данном представлении. Заметьте, что это матрицы 2х2, а не привычные 4х4 с которых мы начали.

Элементы группы находятся экспоненцированием генераторов.

Т.о. матрица поворота R равна exp(i*a/2 сигма)

а буст exp(a/2 сигма) без мнимой единицы в экспоненте.

Сравните с тем, что у нас получилось в 13 части когда мы говорили про спиноры.

Результат у нас почти совпал. Отличается только половинный угол и знак минус. Ну угол отличается потомучто там мы тогда брали за угол поворот в спинорном пространстве, а сейчас угол соответствует повороту в обычном пространстве. А как мы выяснили поворот спинора на угол альфа в спинорном пространстве соответствует повороту на угол альфа/2 в обычном. Знак минус не совпал потому что мы переопределили матрицы генераторов в предыдущей части и повороты у нас теперь в противоположную сторону осуществляются.

Сорри за такую несогласованность в обозначениях.

Объекты, на которые действует данное представление, называются спинорами Вейля левой хиральности или просто левыми спинорами Вейля. В честь Германа Вейля. Их можно представить в виде двухкомпонентного вектор-столбца с комплексными компонентами. И как мы видим над ним можно произвести как обычные повороты, ток и Лоренцевы бусты.

Ну и как вы, наверное догадались если мы проделаем все те же операции применительно к представлению (0, 1/2), то получим правый спинор Вейля.

Представления (1/2, 0) и (0, 1/2) не идентичны потому что не идентичны определения операторов N+ и N-. Они отличаются знаком минус. И этот знак минус всплывает в генераторе бустов.

В случае правых спиноров Вейля они преобразуются по следующим формулам. В экспоненте для бустов появляется знак минус.

Правый и левый спиноры Вейля похожи, но не идентичны потому что они по-разному преобразуются при лоренцевых бустах.

Спинор можно мыслить как простейший математический объект, который можно подвергнуть преобразованиям Лоренца. Обычные 4-векторы СТО в этом смысле не являются фундаментальными. Как мы увидим их можно составить из двух спиноров. По аналогии как тензор второго ранга можно мыслить как 2 4-вектора.