Антропность математики

Математика занимает особое положение среди всех естественных наук. Философские дискуссии на тему математики длятся уже не одно тысячелетие. Бесспорным является тот факт, что на Земле математика – это прерогатива лишь человека. Однако часто неявно полагается универсальность математики применительно ко всем возможным формам разумной жизни во Вселенной, если таковы есть, что используется в проектах по отправке посланий человечества в космос. В статье приводятся аргументы в пользу противоположной точки зрения, полагающей неразрывную связь математики с физиологией нервной системы человека и его органов чувств. В данном свете обсуждается взаимосвязь чистой математики и современных физических теорий, в том числе квантовых. Как заметил Ю. Вигнер, математика удивительным образом позволяет предсказывать новые нетривиальные физические явления. Такое поведение сложно объяснить исходя из того, что она является лишь языком описания. Дается антропный ответ на известный вопрос Вигнера о необъяснимой эффективности математики в естественных науках.  Обсуждается связь реальности с используемыми математическими объектами для ее описания. В свете квантовой механики эту связь проследить еще сложнее, поскольку некоторые из объектов теории имеют лишь вероятностную интерпретацию. Разбирается интерпретация QBism, как наиболее подходящая рассматриваемой позиции.  Делается предположение о причинах неизбежного присутствия понятий наблюдателя и измерений в квантовой механике.

 Ключевые слова: философия математики, антиреализм, номинализм, квантовая механика, квантовый байесианизм

Anthropic mathematics

Mathematics occupies a special position among all natural sciences. Philosophical discussions on mathematics have been going on for thousands of years. Mathematics is a human prerogative, however it is often implicitly assumed that math is a universal language shared among all possible forms of intelligent life in the Universe. This assumption was used in all of the messaging extraterrestrial intelligence projects. The article presents arguments in favor of the opposite point of view, which states that mathematics is inseparably linked with the physiology of the human nervous system and sensory organs. In this light, we discuss the relationship between pure mathematics and modern physical theories including quantum mechanical ones. As noted by E. Wigner, mathematics amazingly allows us to predict new non-trivial physical phenomena. This behavior is difficult to explain based on the assumption that math is only a language. An anthropic answer to Wigner’s well-known question about the unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences is presented. We discuss the connection of reality with the mathematical objects used to describe it. In the light of quantum mechanics, this connection is even more difficult to trace since some of the objects have only a probabilistic interpretation. In this context, the interpretation of QBism seems appropriate to address such questions. We assume the reason behind the unavoidable presence in quantum mechanics such concepts as measurement and observer.

Keywords: philosophy of mathematics, anti-realism, nominalism, quantum mechanics, quantum bayesianism

Введение: два взгляда на математику

Человек является единственным известным науке биологическим видом, способным к математическому мышлению. Попытка объяснить хотя бы простейшие математические концепции даже нашим ближайшим родственникам по эволюционному дереву обречена на провал. Некоторые животные конечно отличают большее от меньшего, но объяснить им концепцию числа, не говоря уже о современных абстрактных математических понятиях, просто невозможно. Как высказался лауреат Нобелевской премии по физике Дэвид Гросс: «Невозможно объяснить квантовую механику собаке» [Gross, 2012]. Между тем никто не сомневается, что и древнегреческие философы смогли бы понять современные абстрактные математические концепции, будь у них доступный источник знаний. Мозг человека за последние несколько тысяч лет практически не изменился.

С самого зарождения науки философы задавались вопросом: что такое математика? Какова природа математических объектов? Существуют ли абстрактные математические структуры и взаимосвязи объективно, независимо от человека, или же всё это лишь плод человеческого ума? Из подобных размышлений возникли и до сих пор существуют различные конкурирующие направления философии математики. Остановимся подробнее на двух из них.

Согласно первому (реализм), все математические структуры «живут» в так называемом платоновском мире идей, напрямую не связанным с человеком, жизнью на планете Земля и физической реальностью в целом. В качестве аргумента обычно приводится то, что некоторые факты были независимо открыты несколькими учеными и даже разными цивилизациями. Так теорема Пифагора была известна многим древним культурам задолго до древнегреческой. Согласно платоновскому подходу, теорема Пифагора занимает свой уголок в мире идей, а математики лишь открывают новые территории этого мира, подобно новым землям в эпоху великих географических открытий. Хотя сами математические объекты находятся в мире идей вечно, вне времени. Никто не сомневается, например, что число семь было простым еще до зарождения жизни на Земле.

Исходя из такой точки зрения, математика универсальна и даже внеземные цивилизации, если предположить их существование, должны открыть те же математические истины. Пластинки «Пионера» и «Вояджера», а также целенаправленно переданные в открытый космос радиосигналы в надежде быть полученными разумной внеземной жизнью, содержат математику. «Математика – это язык, на котором написана книга природы» — Г. Галилей.

Кульминацией данного направления (по мнению автора) можно считать идею Макса Тегмарка о том, что математика – это не просто язык описания природы, а сама Природа. То есть мы являемся математическими самоосознающими объектами внутри более сложной математической структуры, которую мы называем Вселенной. И будучи ее частью осознаем эту математическую структуру как физическую реальность. Задача науки заключается в поиске «своих координат» в платоновском мире идей [Tegmark, 2008].

Однако существует и противоположная точка зрения (антиреализм, номинализм) согласно которой математика – это лишь инструмент, созданный человеком и для человека. Другие гипотетические формы разумной жизни могли развить свою, кардинально иную математику. Возможно даже, что донести ее человеку будет такой же тратой времени, как и попытка объяснить собаке квантовую механику, как выразился Д. Гросс. Данная точка зрения далеко не аутсайдер и ее разделяют некоторые ведущие математики, например, недавно покинувший нас филдсовский медалист Майкл Атья [Atiyah, 2017].

Действительно, математика изначально возникла чисто из практических нужд человека. Арифметика была необходима для бухгалтерских расчетов и сборов налогов, а геометрия для измерения земельных участков, что до сих пор отражено в названии. Древнегреческие философы успешно применили математику и к музыке – еще одному немаловажному для человека аспекту жизни. Описание математикой движения небесных тел позволило создать точную навигацию, необходимую для мореходства.

На то что в основаниях математики лежат все же постулаты (аксиомы), полученные в конечном счете из человеческого опыта и интуиции, ученые обратили пристальное внимание только в XIX в. Работы Лобачевского и Римана изменили наш взгляд на геометрию. Видевшаяся уникальной и единственной, геометрия Евклида оказалась лишь одной из многих. Достаточно было просто ослабить некоторые, казавшиеся интуитивно верными, аксиомы.

Георг Кантор на основе своей теории множеств построил новый аксиоматический фундамент для всей математики и ненадолго задал тренд, оформившийся в программу Гильберта – доказательство (или опровержение) любого математического утверждения из набора элементарных аксиом. Но вскоре Курт Гедель показал, что это невозможно. Его знаменитые теоремы о неполноте утверждают, что аксиоматические системы имеют границы применимости. Всегда можно найти математическое утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть в рамках данной аксиоматической системы. Что, впрочем, не значит, что его нельзя доказать исходя из другого набора аксиом. Но у этой новой системы аксиом неизбежно будут свои недоказуемые теоремы. Эту процедуру изменения аксиом можно продолжать до бесконечности.

Сейчас наблюдается тенденция переформулировать фундамент математики на основе теории категорий, вносящей еще один уровень абстракции, что, впрочем, кардинально ситуации не меняет.  

Антропный ответ на вопрос Вигнера

Платоновский мир идей оказался не таким, каким его видели платонисты. Его обитатели (математические объекты и их свойства, выраженные в виде теорем) неотделимы от выбора человеком набора аксиом. Бесспорно, эти аксиомы с развитием математики становятся все более абстрактными. Следствия таких аксиом, в отличие, например, от аксиом Евклида, зачастую невозможно представить и визуализировать. Можно подумать, что аксиомы евклидовой геометрии навязаны наблюдением окружающего мира, в то время как аксиомы современных абстрактных пространств получены «чистой мыслью». Поэтому евклидова геометрия отражает какие-то аспекты окружающего нас мира, а абстрактные построения современных разделов алгебры и геометрии являются «чистой математикой». Но так ли это?

Действительно, некоторые разделы современной математики, например теория чисел, пока имеют в основном только теоретическое значение. Доказательство теоремы Ферма, полученное Эндрю Уайлсом в 1994 году, будучи грандиозным событием в мире математики, не имеет значимой практической ценности. В отличие, скажем, от алгоритма быстрого Фурье-преобразования или метода быстрого умножения Карацубы, без которых не обходится сейчас ни одно вычислительное устройство – от гаджетов до суперкомпьютеров. Доказательство гипотезы Римана, над которым уже больше 150 лет бьются величайшие умы человечества, также относится к этой категории «бесполезных».

Однако известны примеры, когда абстрактные математические объекты и теории находили практическое применение спустя века после их открытия. Взять хотя бы кватернионы, открытые Гамильтоном в 1843 году. От них отказались современники Уильяма Гамильтона, предпочтя им векторы и несколько искусственно введенные операции скалярного и векторного произведения. Лишь позже, с появлением теории групп, кватернионы были переосмыслены и полностью реабилитированы. Сейчас они массово применяются в компьютерной графике, поскольку операции с ними требуют меньших вычислительных ресурсов по сравнению с векторами. 

Другим примером может служить Гильбертово пространство. Введенное математиком Давидом Гильбертом в начале XX в. при рассмотрении интегральных уравнений, оно неожиданно оказалось ключевым для формулировки квантовой механики. Риманова геометрия, сформулированная к 1854 году, также казалось имеет лишь математическую ценность. До того, как Эйнштейн в 1916 г. сформулировал на ее языке общую теорию относительности. Теория групп, созданная Галуа в 1830 году для доказательства разрешимости в радикалах многочленов, оказалась необходимой для современных квантовых теорий элементарных частиц и их взаимодействий. Кто бы мог подумать, что теория категорий будет использоваться в программировании (функциональные языки), а какие-нибудь алгебры Клиффорда и Грассмановы числа (XIX в.) для описания электронов и прочих фермионов в современных квантовых теориях поля.

Естественно возникает вопрос, который ярко озвучил физик Юждин Вигнер в своей статье [Wigner, 1960] под названием “The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences” [Необоснованная эффективность математики в естественных науках]: почему для описания природы требуются абстрактные, кажущиеся не имеющими отношения к реальности, математические объекты? Почему чисто математически исследуя эти структуры можно получить нетривиальные физические предсказания? То есть математика позволяет не только описать известные факты, но и предсказать еще не открытые экспериментально явления. Ярким примером служит предсказание Полом Дираком существования античастиц из математического анализа предложенного им уравнения, изначально введенного совсем для другой цели – описания релятивистского электрона. Как не раз было в истории науки: «уравнение оказалось умнее его создателя».

Ответить на вопрос Ю. Вигнера можно исходя из номиналистического подхода к математике как к изобретению человека. Какими бы абстрактными не были аксиомы и вытекающие из них теории, все они получены человеком исходя из наблюдений за природой через органы чувств. У человека просто нет другого способа получить информацию. Мозг лишь обрабатывает поступившие данные и как бы они затем не категорировались и абстрагировались, они все равно отражают знания человека о природе, а не о гипотетическом мире идей. То есть математик занимается деятельностью очень схожей с работой физика. Не удивительно, что они взаимодополняют друг друга.

Иногда требуемый для описания новой физической теории математический аппарат уже существует к моменту ее появления, а иногда и нет. Ньютону потребовалось создать дифференциальное и интегральное исчисления для формулировки своей механики. Второй закон Ньютона – это дифференциальное уравнение. С другой стороны, ко времени создания квантовой механики и общей теории относительности необходимая математика уже существовала.

Удивительно конечно, как математические теории, полученные в конечном счете из информации, поступающей через органы чувств, оказывается способны описать явления непосредственно не доступные органам чувств человека: квантовые законы микромира; эффекты специальной теории относительности, возникающие при околосветовых скоростях; искривление пространства-времени общей теории относительности. Вероятно, все сводится к способности человеческого мозга проводить аналогии, а также частичному проявлению этих законов на уровне непосредственно доступном восприятию органами чувств. Так все случайные процессы в конечном счете происходят из квантовых эффектов, что, впрочем, не помешало создать теорию вероятностей задолго до квантовой механики. А саму квантовую механику сейчас можно мыслить как обобщение теории вероятностей, поскольку в ней первичными являются амплитуды вероятностей из которых и получаются классические вероятности.

Позитивизм и квантовая механика

Начало XX в. ознаменовалось грандиозным событием для человечества – созданием двух столпов современной физики, изменивших наше мировоззрение: теории относительности и квантовой механики. Обе возникли из практического применения философского учения позитивизма.

Эйнштейн восхищался идеями физика и позитивиста Эрнста Маха. Его влияние прослеживается в первой работе по специальной теории относительности. В духе позитивизма Эйнштейн оперирует в статье только доступными непосредственному наблюдению величинами: линейками, часами, световыми вспышками. Он сугубо теоретически из своей аксиомы (принципа относительности Эйнштейна) и анализа математики приходит к выводу, что результаты наблюдения некоторых величин зависят от выбора инерциальных систем отсчета, а аксиомы (законы) Ньютона требуют модификации.

Но наиболее кардинальный сдвиг в мировоззрении внесла квантовая механика. К началу XX в. было известно несколько экспериментов, противоречащих предсказаниям ньютоновской механики и классической электродинамики Максвелла. Экспериментатор Эрнст Резерфорд предложил планетарную модель атома, а теоретик Нильс Бор попытался применить немного модифицированную ее версию для объяснения экспериментов по спектрам атомов.

Вернер Гейзенберг в 1925 г. показал, что попытки Н. Бора обречены на провал из-за того, что он оперирует в принципе ненаблюдаемыми величинами, такими как траектория движения электрона в атоме. Следуя идеям позитивизма, Гейзенберг переформулировал теорию атома в терминах непосредственно наблюдаемых величин: частотах и интенсивностях спектральных линий атомов. Из теории Гейзенберга оказывалось, что наблюдаемые величины должны иметь два индекса. Практически сразу же было осознано, что их можно представить матрицами. А немного позже и их обобщениями – линейными операторами. Так родилась квантовая механика.

Как и любая другая физическая теория, квантовая механика содержит набор аксиом (постулатов). Что удивительно, помимо постулатов, касающихся описания используемых математических структур и их связи с физикой, в квантовой механике имеется постулат о наблюдении (измерении). В этом отношении квантовая механика является уникальной среди всех физических и математических теорий. Существуют теоремы в рамках самой квантовой теории, согласно которым свойства физических объектов не определены до момента измерения [Bell, 1964; Greenberger et al.,1990; Conway & Kochen, 2006; Kwiat & Hardy, 2000]. Следовательно, от самих понятий «наблюдатель» и «наблюдение», которые отцы-основатели были вынуждены включить в лексикон квантовой механики, невозможно избавиться. Более того, квантовая механика, в отличие от всех других физических теорий, чрезвычайно чувствительна к попыткам ее модификации. Хотя многие великие умы пытались и продолжают пытаться это сделать. Как пишет нобелевский лауреат по физике Стивен Вайнберг [Вайнберг, 2008, c.72]:

«Этот крах теоретической попытки найти приемлемую альтернативу квантовой механике в еще большей степени, чем точные эксперименты по проверке линейности, убеждает меня, что квантовая механика такова, какова она есть, потому что любое ее малое изменение обязательно приведет к логическим противоречиям. Если это так, то квантовая механика должна быть постоянной частью физики. Иными словами, квантовая механика должна выжить не как приближение к более глубокой истине, подобно тому, как ньютоновская теория тяготения сохранилась как приближение к эйнштейновской общей теории относительности, а как точно выполняющееся свойство окончательной теории.»

В рамках данной работы не представляется возможным охватить все интерпретации квантовой механики и подходы к решению «проблемы измерения». Однако если придерживаться точки зрения, что физическая теория есть математическая теория, являющаяся плодом человеческой деятельности и построенная в конечном счете из наблюдений человека за природой через органы чувств, то по мнению автора, наиболее яркое воплощение этих идей отражено в интерпретации QBism (квантовый байесианизм) [Fuchs et al., 2014].

Алгоритм использования квантовой механики для предсказания поведения рассматриваемой системы сводится к тому, что на вход подается информация о текущем состоянии системы, а на выходе квантовая механика дает вероятности при измерении наблюдателем той или иной наблюдаемой величины получить определенные результаты. QBism просто отождествляет состояние системы (волновую функцию, вектор состояния) со знанием наблюдателя о системе. В такой интерпретации «проблема измерения», то есть коллапс волновой функции при измерении, просто отражает обновление знаний наблюдателя о системе при получении им новой информации. Этот процесс не является физическим и его невозможно описать более детально.

В рамках данной интерпретации, появляющиеся в квантовой механике математические объекты не реальны в том смысле, что они не описывают внешнюю по отношению к наблюдателю реальность, а лишь его субъективные знания. Разные наблюдатели могут описывать систему разными волновыми функциями (векторами состояния) в зависимости от доступной им информации. Однако математика квантовой механики гарантирует, что они никогда не получат логических противоречий при обмене информацией друг с другом. Этот обмен просто приводит к коллапсу волновых функций наблюдателей, аналогично получению новых данных при измерении физической системы.  

Фактически QBism отличается от Копенгагенской интерпретации, сформулированной еще отцами-основателями, только терминологией в виде явного использования субъективного подхода к вероятностям – условных вероятностей и Байесовского вывода (Bayesian inference) как классического аналога коллапса волновой функции, интерпретируемого как обновление наблюдателем субъективных вероятностей при получении им новых данных. Принципиальная ненаблюдаемость волновой функции практически никогда не оспаривается ни в каких интерпретациях, хотя бы из того, что она изначально комплекснозначна.

То, что наблюдатель считает реальностью, согласно идеям QBism присутствует только в сознании этого наблюдателя и то только при получении им информации через органы чувств. Фактически Копенгагенская интерпретация утверждает то же самое, но не делает такой яркий акцент на наблюдателе. Известно, что этот аспект квантовой механики чрезвычайно не нравился Эйнштейну. Знаменит его риторический вопрос Нильсу Бору: «Вы действительно считаете, что Луна существует только когда вы на неё смотрите?». Удивительно, но квантовая механика утверждает именно это. Если делать предположения о наличии определенных свойств у объектов не проводя фактические измерения (наблюдения), то неизбежно возникают логические противоречия и расхождения с экспериментом [Bell, 1964; Greenberger et al.,1990; Conway & Kochen, 2006; Kwiat & Hardy, 2000]. Программа поиска скрытых параметров, инициированная Эйнштейном, потерпела крах. Оказалось, что объекты действительно не имеют определенных характеристик до измерения, что подтверждается высокоточными экспериментами [BIG, 2018].

Принято считать, что Копенгагенская интерпретация делит мир на классический и квантовый. Измерительный прибор является классическим, а измеряемая система квантовой. Однако четкой границы (Heisenberg cut) не существует. Ее можно без всякого нарушения логики и возникновения противоречий с экспериментальными данными перенести вплоть до органов чувств наблюдателя и даже далее. QBism отодвигает эту границу к сознанию наблюдателя. Классический мир, таким образом, существует лишь в сознании наблюдателя. Объективной реальностью не обладает не только платоновский мир идей, но и физический (квантовый) мир.

Заключение

Чем же является математика с точки зрения современных естественных наук среди которых она занимает явно выделенную роль? Она не может быть просто «языком» как полагал Галилей, поскольку не служит исключительно описанию известных явлений. Она требует логического мышления, способности к абстрагированию, категоризации и проведению аналогий. Эти же качества отличают человека от других животных, поэтому способность к математике можно считать побочным продуктом эволюции. В основаниях математики лежат аксиомы, отражающие в конечном счете чувственный опыт. Часть их следствий оказывается можно применить для чрезвычайно точного предсказания будущего (физические теории). Оставшаяся часть пока не имеет практического применения, однако наблюдается тенденция перехода объектов из этой категории в предыдущую.

В свете современных физических теорий, являющихся математическими моделями, к отождествлению знаний о природе с действительной реальностью следует подходить с чрезвычайной осторожностью (обзор проблемы квантовой реальности можно найти в [Терехович, 2019]). Если это не вполне очевидно на примере утверждения, что Земля вращается вокруг Солнца, то становится более наглядным в случае электрона, вращающегося вокруг ядра атома.

Как показала квантовая механика, электрон не является шариком или материальной точкой. Комплекснозначную волновую функцию, используемую для его описания, можно интерпретировать как знания наблюдателя. В таком случае от электрона не остается ничего «реально существующего». И даже сама волновая функция является лишь нерелятивистским приближением. С учетом теории относительности электрон необходимо описывать в рамках квантовой электродинамики – одной из квантовых теорий поля. Однако эти поля, как и волновую функцию, невозможно измерить и, следовательно, приписать им объективной реальности. Эти поля могут быть операторнозначными или грассманознычными. Ни операторы, ни грассмановы числа не доступны непосредственному измерению, они лишь удобный математический инструмент. А с номиналистической точки зрения вся математика – это лишь удобный инструмент. Как показал Хартри Филд, научные теории можно переформулировать даже не прибегая к понятием чисел, функций и множеств [Field, 1980].

Что же насчет ядра атома, вокруг которого «вращаются» электроны? Согласно современным представлениям оно состоит из нейтронов и протонов, которые в свою очередь состоят из кварков. Но согласно квантовой хромодинамике – еще одной квантовой теории поля – свободный кварк невозможно наблюдать из-за эффекта конфайнмента. Реальны ли тогда кварки, если они ненаблюдаемы в принципе?

Бесспорно, кварковая модель позволяет элегантно объяснить множество экспериментов и классифицировать сотни «элементарных» частиц. С другой стороны, кварки и другие физические концепции, являющиеся математическими объектами, можно мыслить лишь как удобный инструмент, изобретенный человеком и адаптированный под его органы чувств и его стремление к классификации. Понятия «частица» и «поле» изначально возникли у человека из зрительных и тактильных наблюдений за дискретными и непрерывными объектами вроде деревьев и волн на море. Их более абстрактные обобщения применяются и по сей день для описания природы вплоть до квантового уровня.

Симпатизируемая автором позиция по отношению к математике имеет много общего с известным из физики антропным принципом. Математика такая какая она есть потому что является плодом человеческой мысли и в конечном счете увязана с физиологией человеческого мозга. Она позволяет формулировать законы природы поскольку сам мозг, плодом которого она является, есть часть Природы. Наиболее точные математические формулировки физических теорий (квантовые) требуют понятия «наблюдатель» и «наблюдение» потому что математика изначально получена самими наблюдателями исходя из их наблюдений и, как оказалось, неотделима от них самих. Известная сложность (или невозможность) модифицировать квантовую механику и уйти от этих понятий вероятно следует из невозможности человечеством объяснить физическую реальность, не прибегая к органам чувств человека, воспринимающих эту реальность.  

Но что если предположить существование внеземной разумной жизни с совершенно другим набором органов чувств, физиологией и может быть даже с другими плодами эволюции, отличными от навыков абстрагирования, категоризации и аналогии, необходимых для появления «человеческой математики». Тогда возможно, что и понятие числа не было бы изобретено. Математика была бы иной.

Платоновский мир идей оказывается доступен лишь человеку. Но если математика – это антропное описание природы, привязанное к органам чувств и типу мышления, то такая цивилизация фактически жила бы по сути в другой Вселенной. Возможно все странности квантовой механики были бы тривиальны в рамках такой другой математики, но она была бы недоступна нам. Может оказаться, что человеческий мозг в принципе не способен понять такую другую математику. По аналогии с невозможностью увидеть мир, воспринимаемый летучей мышью с ее ультразвуковым зрением или ощущения некоторых видов рыб, способных к восприятию электрических и магнитных полей.

Допускает ли наша Вселенная такие варианты или любая форма разумной жизни должна прийти к единой математике? Возможно ли найти «общий язык» между «разными математиками», ведь Вселенная едина, даже если ее законы и выражаются через призму органов чувств? Так ли это? Что если принять в рассмотрение гипотезу мультивселенной с разными физическими законами в каждой Вселенной?

Вполне возможно, что ответы на подобные вопросы, или даже сами постановки таких вопросов, приведут к пересмотру научной картины мира, представлений о реальности, способах ее познания и философских оснований науки.

Все теперь в телеграм: https://t.me/lightcone_qm

Список литературы

Gross, 2012 – David Gross: Frontiers of Fundamental Physics. 2012. URL: https://youtu.be/wk5xHbTLVOE?t=5375 (дата обращения 30.09.2020).

Tegmark, 2008 – Tegmark, M. “The Mathematical Universe”, Foundations of Physics, 2008, vol. 38 (2), pp. 101–150. doi:10.1007/s10701-007-9186-9 

Atiyah, 2017 – Michael Atiyah — Did we invent number theory? 2017. URL: https://youtu.be/Xu-SjsOAJbg (дата обращения 30.09.2020).

Wigner, 1960 – Wigner E. P. “The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences”, Communications on Pure and Applied Mathematics, 1960, vol. 13, pp. 1–14. doi:10.1002/cpa.3160130102.

Bell, 1964 – Bell, J. S. “On the Einstein Podolsky Rosen Paradox”, Physics Physique Fizika, 1964, vol. 1(3), pp. 195–200.

Greenberger et al.,1990 – Greenberger D., Horne M, Shimony A, Zeilinger A.  “Bell’s theorem without inequalities”, Am. J. Phys., 1990, vol. 58(12), pp. 1131–1143. doi:10.1119/1.16243

Conway & Kochen, 2006 – Conway J., Kochen S. “The Free Will Theorem”, Foundations of Physics, 2006, vol. 36 (10), pp. 1441–1473. doi:10.1007/s10701-006-9068-6

Kwiat & Hardy, 2000 – Kwiat P.G., Hardy L. “The mystery of the quantum cakes” Am. J. Phys., 2000, vol. 68, no. 1, pp. 33-36.

Вайнберг, 2008 – Вайнберг С. Мечты об окончательной теории. URSS, 2008. 256 с.

Fuchs et al., 2014 – Fuchs C., Mermin D., Schack R. “An introduction to QBism with an application to the locality of quantum mechanics”, American Journal of Physics, 2014, vol. 82 (8), pp. 749–754. doi:10.1119/1.4874855

BIG, 2018 – BIG Bell Test Collaboration. “Challenging local realism with human choices”, Nature, vol. 557 (7704), pp. 212–216.

Терехович, 2019 – Терехович В.Э. Три подхода к проблеме квантовой реальности и вторая квантовая революция // Epistemology & Philosophy of Science / Эпистемология и философия науки. 2019. Т. 56. № 1. С. 169–184.

Field, 1980 – Field H. “Science Without Numbers: A Defence Of Nominalism”, Princeton University Press, 1980, 144p.

References

Bell, J. S. “On the Einstein Podolsky Rosen Paradox”, Physics Physique Fizika, 1964, vol. 1(3), pp. 195–200.

BIG Bell Test Collaboration. “Challenging local realism with human choices”, Nature,  vol. 557 (7704), pp. 212–216.

Conway J., Kochen S. “The Free Will Theorem”, Foundations of Physics, 2006, vol. 36 (10), pp. 1441–1473. doi:10.1007/s10701-006-9068-6

David Gross: Frontiers of Fundamental Physics, 2012,  [https://youtu.be/wk5xHbTLVOE?t=5375, accessed on 30.09.2020]

Field H. “Science Without Numbers: A Defence Of Nominalism”, Princeton University Press, 1980, 144p.

Fuchs C., Mermin D., Schack R. “An introduction to QBism with an application to the locality of quantum mechanics”, American Journal of Physics, 2014, vol. 82 (8), pp. 749–754. doi:10.1119/1.4874855

Greenberger D., Horne M, Shimony A, Zeilinger A.  “Bell’s theorem without inequalities”, Am. J. Phys., 1990, vol. 58(12), pp. 1131–1143. doi:10.1119/1.16243

Kwiat P.G., Hardy L. “The mystery of the quantum cakes” Am. J. Phys., 2000, vol. 68, no. 1, pp. 33-36.

Michael Atiyah — Did we invent number theory? 2017, [https://youtu.be/Xu-SjsOAJbg, accessed on 30.09.2020]

Tegmark, M. “The Mathematical Universe”, Foundations of Physics, 2008, vol. 38 (2), pp. 101–150. doi:10.1007/s10701-007-9186-9 

Terekhovich, V. E. “Tri podkhoda k probleme kvantovoi real’nosti i vtoraya kvantovaya revolyutsiya” [Three Approaches to the Issue Of Quantum Reality and the Second Quantum Revolution], Epistemology & Philosophy of Science, 2019, vol. 56,  no 1, pp. 169–184. (In Russian)

Weinberg S. “Mechty ob okonchatel’noi teorii” [Dreams of a final theory], 2008, URSS, 256 p. (In Russian)

Wigner E. P. “The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences”, Communications on Pure and Applied Mathematics, 1960, vol. 13, pp. 1–14. doi:10.1002/cpa.3160130102.