Правило Борна. Нормирование векторов состояния.

Десятая часть серии видео про квантовую механику.

На примере эксперимента Штерна-Герлаха по измерению спина электрона можно продемонстрировать практически все постулаты квантовой механики.

Продолжим количественный анализ этих экспериментов качественно рассмотренных во второй и третьей частях. В прошлых видео мы говорили, что квантовомеханическая система характеризуется вектором состояния, а наблюдаемым величинам соответствуют операторы. Следующий постулат связывает эти две составляющие:

При измерении вектор состояния системы переходит в собственный вектор оператора, соответствующий измеренному собственному значению.

Давайте для начала найдем в маткаде собственные векторы оператора спина по оси z. Два столбца получившейся матрицы как раз и есть собственные векторы, соответствующие собственным значениям +1/2 и -1/2 оператора спина. Запишем собственные векторы оператора спина по оси z в виде кет-векторов, обозначаемых стрелочками вверх и вниз.

Если при измерении электрон отклонился вверх, то его спин оказался равен +1/2, и будет описываться вектором состояния «вверх». Если электрон отклонился вниз, то для его описания следует использовать вектор состояния «вниз». То есть каким бы не был вектор состояния спина электрона до прохождения прибора Штерна-Герлаха, после измерения согласно постулату он будет описываться одним из этих двух векторов.

И наконец мы подходим к постулату, в котором и заключается предсказательная основа квантовой механики: Квадрат абсолютного значения амплитуды вероятности есть вероятность осуществления события, описываемого этой амплитудой.

Данный постулат также называется Правило Борна.

Напомним, что амплитуда вероятности есть скалярное произведение двух векторов состояния. В общем случае это комплексное число. Поясним, что имеется в виду под событиями.

Скажем мы хотим узнать вероятность того, что электрон отклонится вниз во втором приборе Штерна-Герлаха, если в первом приборе он отклонился вверх. Нам необходимо составить следующую амплитуду вероятности и возвести ее абсолютное значение в квадрат. Кет-вектор описывает исходное состояние спина электрона, а бра-вектор конечное состояние. Можно подставить конкретные численные выражения и убедиться, что вероятность этого события равна нулю. Если электрон отклонился вверх в первом приборе, то он точно не отклонится вниз во втором.

Аналогично можно посчитать вероятность того, что электрон отклонится вверх во втором приборе, если в первом он тоже отклонился вверх. Мы получим единицу, то есть 100-процентную вероятность. Если электрон отклонился вверх в первом приборе, то он точно отклонится вверх и во втором. Заметьте, что данная амплитуда вероятности есть скалярное произведение вектора состояния с самим собой. Для обычных векторов на плоскости так находится квадрат длины вектора. В случае абстрактных векторов состояния вместо длины используется понятие нормы вектора.

Все векторы состояния приводятся к единичной норме. Эта операция называется нормирование или нормализация вектора. Она необходима для того чтобы вычисляемые вероятности никогда не превышали 100%. При нахождении собственных векторов маткад выдал нам уже нормированные векторы.

Записать вероятность в терминах амплитуды вероятности можно различными способами. Помимо приведенного квадрата абсолютного значения можно также умножить амплитуду на свое комплексное сопряжение. Умножение комплексного числа на свое сопряжение как раз дает квадрат абсолютного значения. Поменяв порядок векторов в комплексно сопряженной амплитуде можно уйти от операции комплексного сопряжения. Все эти записи эквивалентны.