Операторы. Собственные векторы и собственные значения.

Восьмая часть элементарного введения в квантовую механику.

Последнее что необходимо усвоить из математики прежде чем перейти к рассмотрению постулатов квантовой механики это операторы.

В предыдущей части мы говорили, что квантовомеханическая система описывается векторами состояния. Они похожи на обычные векторы, но характеризуются комплексными числами вместо декартовых координат. Но система, а следовательно и вектор состояния может изменяться. Эти изменения как раз описываются действиями операторов. Опять же для наглядности проведем аналогию с обычными векторами на плоскости.

Пусть у нас имеется исходный вектор и оператор масштабирования S. То есть действие оператора S на вектор приводит к увеличению его длины в два раза. Операторы могут обозначаться шапочкой над символом, заглавными буквами или вообще никак не выделяться, поскольку они в квантовой механике используются чаще чем числовые переменные. В абстрактных обозначениях Дирака действие оператора S на кет-вектор дает другой кет-вектор. В компонентных обозначениях кет-вектор описывается столбцом.

Чтобы выражение имело смысл, компонентная запись оператора должна представляться квадратной матрицей. Ведь умножение квадратной матрицы на вектор-столбец дает другой вектор-столбец. Применяя операцию эрмитового сопряжения к обоим сторонам равенства получим аналогичное выражение для бра-векторов. Оператор в этом случае должен стоять справа от бра-вектора чтобы соблюсти правило строка на столбец.

Это общее свойство. При эрмитовом сопряжении произведения, порядок множителей меняется.

Другие операции также представляются квадратными матрицами, например поворот. Умножая матрицу R на вектор, получим вектор повернутый на угол альфа. Возьмем например угол 90 градусов. Тогда матрица будет содержать только нули и единицы. Действие такой матрицы на любой вектор на плоскости будет эквивалентно его повороту против часовой стрелки на 90 градусов. В обозначениях Дирака это выглядит так.

Следует понимать, что оператор – это абстрактный математический объект. Это то, что производит над вектором состояния некую операцию. Матрица – это конкретное представление оператора, зависящее от выбранного базиса. Как и в случае вектора, при смене базиса матричные компоненты оператора изменяются. Но сам оператор как математический объект остается неизменным.

Представим, что оператор применяется глобально, то есть сразу ко всем возможным векторам. Тогда его действие можно рассматривать как операцию, изменяющую не сами векторы, а пространство в котором живут векторы. Так в случае поворота мы можем сказать, что вся плоскость с нанесенными на нее векторами поворачивается на угол альфа.

Рассмотрим еще один пример. Следующая матрица растягивает плоскость в три раза по направлению оси y=x то есть 45 градусов. Заметьте, что длина синих векторов как раз увеличивается в три раза, а их направление не меняется. Для них все действие оператора сводится к увеличению их длины, то есть умножению на число. В обозначениях Дирака это выглядит так.

Векторы, удовлетворяющие этому равенству называются собственными векторами оператора. Число на которое умножается собственный вектор называется собственным значением. Можно, например, проверить что вектор с координатами (1, 1) является собственным. Заметьте, что все векторы параллельные собственному также являются собственными с тем же самым собственным значением. Однако векторы, обозначенные фиолетовым также не меняют свое направление. Это тоже собственные векторы с собственным значением 1, так как их длина не меняется при действии оператора. Например можно убедиться, что вектор с координатами (-1 1) является собственным с собственным значением 1.

Векторы обозначенные красным при действии оператора меняют направление и собственными не являются. Так действие оператора на вектор (1 0) невозможно представить как простое умножение на число.

То есть для обычных векторов определение собственных векторов звучит так: это векторы при действии на которых данного оператора их направление не меняется, а длина изменяется в m раз, где m – собственное значение. В случае векторов состояния, направление вектора не определено и лучше воспользоваться определением через приведенную алгебраическую формулу: действие оператора на собственный вектор сводится к умножению этого вектора на число – собственное значение.

Алгебраическое определение более универсально. Например может показаться, что для матрицы поворота на 90 градусов собственных векторов не существует. Ведь любой вектор на плоскости поменяет направление при повороте. Но мы можем найти векторы, удовлетворяющие алгебраическому определению. Но они уже не будут иметь геометрического представления в виде направленных отрезков.

Набор собственных векторов и соответствующих им собственных значений являются важными характеристиками оператора. Для заданного оператора их можно найти аналитическими или численными методами. Они играют особую роль в квантовой механике.