Парадокс Харди. Загадка квантовых пирожков.

Двадцать первая часть введения в КМ.

Квантовые запутанные состояния кардинально отличаются от классических корреляций. Они позволяют наглядно продемонстрировать несовместимость законов классической и квантовой логик.

Существует много способов такой демонстрации. На мой взгляд, наиболее простой в понимании описан в статье Харди The mystery of the quantum cakes (Загадка квантовых пирожков).

Рассмотрим ситуацию, изображенную на рисунке из статьи. Кухня с двумя выходящими в противоположные стороны конвейерными лентами периодически поставляет пару закрытых духовок по одной на каждый конвейер. Присутствуют два экспериментатора: Люси слева и Рикардо справа.

Имеются две наблюдаемые величины. Первая — это вкус пирожка из духовки. Экспериментатор открывает духовку в конце конвейерной ленты и пробует пирожок на вкус.Вторая — это состояние теста. Экспериментатор может открыть духовку посередине конвейерной ленты и посмотреть поднялось тесто или нет.

Однако открытие духовки посередине приводит к нарушению теплового режима и как следствие к плохому качеству пирожков. Каждый экспериментатор произвольно выбирает, что ему измерить — вкус пирожка в конце ленты или состояние теста посередине конвейера. Результаты своих экспериментов они впоследствии сравнивают. Вот их наблюдения:

1. В случае когда Рикардо и Люси одновременно открывают духовки посередине ленты, в 9% случаев они обнаруживают, что у обоих тесто уже поднялось.
2. Когда у Люси тесто поднялось, Рикардо обнаруживает вкусный пирожок.
3. Когда у Рикардо тесто поднялось, Люси обнаруживает вкусный пирожок.

Если предположить, что пирожки на кухне делаются из одного теста, то корреляции 2 и 3 кажутся очевидными.

Последний из возможных экспериментов тот, когда Рикардо и Люси пробуют вкус пирожков в конце конвейера.С учетом пунктов 1, 2, 3 можно предположить, что как минимум 9% пирожков будут одновременно вкусными.

Действительно, ведь если бы они открыли духовки посередине конвейера, то согласно первому пункту в 9%-ах случаев обнаружили бы, что у обоих тесто поднялось. Но ведь согласно пунктам 2 и 3 взошедшее тесто приводит к хорошему вкусу пирожков. То есть 9% пирожков точно должны оказаться вкусными одновременно у обоих экспериментаторов.

Удивительно, но они обнаруживают, что:

4. Оба пирожка никогда не бывают вкусными!!!! Один из пирожков обязательно будет невкусным.

В рамках классической логики четвертое утверждение несовместимо с первыми тремя.

Ошибка классических рассуждений в том, что мы неявно предполагаем объективное существование характеристик объектов, независимо от того проводилось ли фактическое измерение или нет. Интуиция говорит нам, что если бы мы открыли духовку, то увидели бы в 9%-ах случаев взошедшее тесто у обоих экспериментаторов. Значит и не открывая духовку можно предположить что в 9%-ах тесто у обоих взошло. Но такое рассуждение просто неверно в квантовом случае. Характеристики объектов могут находится в квантовой суперпозиции или в запутанном состоянии и не определены до момента измерения. Нельзя предполагать их объективное существование не проводя эксперимента по их измерению.

Корень отличий кроется в том, что измеряемые величины в квантовой механике представляются операторами, а не числами. Оператор вкуса пирожка из нашего примера не коммутирует с оператором состояния теста. Ненулевой коммутатор операторов означает, что эти величины невозможно знать одновременно. Если мы знаем вкус пирожка, то нельзя предполагать объективно существующим состояние теста. Оно не определено и находится в квантовой суперпозиции. И наоборот. Если мы знаем состояние теста, вкус пирожка не определен. Все это приводит к тому что квантовое поведение нельзя съимитировать классической механикой. Что мы и видим на данном примере.

Приведем вектор состояния, удовлетворяющий всем четырем условиям. Кет-векторы |B⟩ и |G⟩ есть собственные векторы оператора вкуса. Первый множитель в тензорном произведении относится к пирожку Люси, второй – к пирожку Рикардо. Поскольку в выражении вектора состояния |ψ⟩ отсутствует член вида |G⟩|G⟩, пункт 4 выполняется автоматически. С нулевой вероятностью оба пирожка окажутся вкусными.

Базисные векторы оператора вкуса выражаются через базисные векторы оператора состояния теста следующим образом.

где вектор R — Risen обозначает что тесто поднялось, а N — Not risen, что не поднялось.

Подставив выражения для |B⟩ и  |G⟩ в формулу для  |ψ⟩ можно убедиться в справедливости пункта 2. Поскольку члены вида |R⟩|B⟩ сократятся, ситуация когда тесто взошло и пирожок оказался невкусным имеет нулевую вероятность.

Аналогично и для пункта 3. Если подставить выражения вместо второго множителя члены вида  |B⟩|R⟩ сокращаются.

Вероятность девять процентов того что тесто у обоих пирожков поднялось можно получить найдя амплитуду для вектора |R⟩|R⟩. Она равна -0,3. Ее квадрат абсолютного значения как раз дает девять процентов.

Векторы |B⟩, |G⟩, |R⟩, |N⟩ можно заменить на соответствующие векторы состояний поляризаций фотонов и наблюдать описанные квантовые корреляции на практике.