Роль наблюдателя. Базисные векторы и выбор базиса.

Наиболее общим вектором состояния, описывающим квантовомеханическую систему является суперпозиция базисных векторов. Так для спина электрона это вектор:

\( \displaystyle |\psi\rangle= c_{\uparrow}|\uparrow\rangle+c_{\downarrow} |\downarrow\rangle\)

Известно, что  один и тот же вектор можно выразить через различные базисные векторы.

Квантовомеханический вектор состояния также можно выразить через другие базисные векторы, например:

\( \displaystyle |\psi\rangle= c_{\rightarrow}|\rightarrow\rangle+c_{\leftarrow} |\leftarrow\rangle\)

Сами базисные векторы можно выразить через базисные векторы другого базиса:

\( \displaystyle
|\rightarrow\rangle= \frac{1}{\sqrt{2}}(-i|\uparrow\rangle+ |\downarrow\rangle)\);

\( \displaystyle
|\leftarrow\rangle= \frac{1}{\sqrt{2}}(-i|\uparrow\rangle- |\downarrow\rangle)\)

Проверить корректность можно через непосредственные матричные вычисления:

\(\displaystyle
\frac{1}{\sqrt{2}}\binom{-i}{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left [-i\binom{1}{0}+\binom{0}{1}\right ]\);

\(\displaystyle
\frac{1}{\sqrt{2}}\binom{-i}{-1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left [-i\binom{1}{0}-\binom{0}{1}\right ]\)

Представленные базисные векторы являются собственными векторами спиновых операторов
\(\displaystyle\hat{\sigma _{z}},\hat{\sigma _{y}}\), то есть соответствующих матриц Паули. Это общий вывод:

Собственные векторы эрмитовых операторов формируют базис.

Вспомним три правила квантовой механики:

1. Эрмитовым операторам (матрицам) соответствуют измеряемые величины.
2. При измерении вектор состояния переходит в один из базисных векторов оператора измеряемой величины.
3. Если операторы (матрицы) не коммутируют, то соответствующие им физические величины нельзя измерить одновременно.

Получается все базисы изначально равноправны, но наблюдатель делая выбор измеряемой величины одновременно выбирает и базис, формируемый собственными векторами соответствующего оператора. Таким образом, вектор состояния в котором окажется система после измерения определяется:

1. Выбором Наблюдателем измеряемой величины (базисных векторов).
2. Выбором Природой одного из этих базисных векторов.

Причем квантовая механика позволяет найти вероятность коллапса вектора состояния в тот или иной базисный вектор (второй пункт), но ничего не может сказать о том какой набор базисных векторов выберет наблюдатель (первый пункт).

Пусть наблюдатель захотел измерить спин электрона относительно оси y. При измерении вектор состояния окажется в одном из собственных векторов оператора \(\displaystyle\hat{\sigma _{y}}\), скажем \(\displaystyle |\rightarrow\rangle\). Данный вектор можно представить и в базисе собственных векторов \(\displaystyle\hat{\sigma _{x}}\), как показано выше. Но, если бы он изначально захотел вместо оси y измерить спин относительно оси x, он бы никогда не получил суперпозицию \( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}(-i|\uparrow\rangle+ |\downarrow\rangle)=|\rightarrow\rangle\). Возможные варианты это лишь  \( \displaystyle |\uparrow\rangle\) и \( \displaystyle |\downarrow\rangle\).

Совершаемый наблюдателем выбор приводит при измерении к результату, который не мог бы получиться никогда, выбери он другой базис. Таким образом базис — величина не влияющая на классические векторы, оказывает самое непосредственное влияние на векторы состояния. Опять же загадочный процесс измерения играет здесь ключевую роль.

Подобные вещи вездесущи в квантовой механике. Можно взять два некоммутирующих эрмитовых оператора и получить полную аналогию описанной ситуации со спином: координата и импульс являются ярким примером.