Теория групп 7 — Группа трехмерных поворотов SO(3)

Май 30, 2019

По аналогии с группой поворотов на плоскости SO(2) можно построить группу поворотов в трехмерном пространстве. Она называется SO(3) – специальная ортогональная размерности 3. Инвариантной при операции группы будет уже сфера. Или, говоря на языке векторов, не будет меняться длина вектора, исходящего из начала координат. Группа SO(3) содержит ортогональные матрицы размером 3х3 с единичным детерминантом. Ортогональные… Читать дальше »

Теория групп 6 — Генераторы групп Ли

Май 30, 2019

Вернемся к группе SO(2) – группе поворотов на плоскости. Как мы видели, элементы группы можно представить квадратными матрицами. Зная угол альфа можно получить конкретный вид матрицы поворота, вычислив соответствующие синусы и косинусы. Идея, стоящая за понятием генератора группы следующая. Поворот на произвольный угол можно представить как последовательность поворотов на малый, бесконечно малый угол. То есть… Читать дальше »

Теория групп 5 — Группы Ли. Группа поворотов SO(2)

Май 14, 2019

В теории групп очень много интересных теорем и десятки терминов даже в рамках обычных дискретных групп: нормальная подгруппа, классы, факторгруппа и многое другое. Но мы сейчас не будем на них останавливаться, а сразу перейдем к так называемым группам Ли. Они получили широкое распространение в квантовых теориях. В предыдущих видео мы рассматривали группу D3 поворотов и… Читать дальше »

Теория групп 4 — Теория представлений групп

Май 6, 2019

Мы видели, что группа является довольно абстрактным математическим объектом. Операцией группы может быть что угодно: обычное умножение или сложение, поворот, инверсия… да что угодно. Элементами группы также могут быть абстрактные объекты вроде поворота на 240°. Но мы также видели, что иногда можно найти изоморфную группу в которой абстрактные операции исходной группы заменяются на более привычные… Читать дальше »

Теория групп 3 — Подгруппы. Абелевы и неабелевы группы. Спонтанное нарушение симметрии.

Май 3, 2019

Приведем еще раз таблицу умножения группы С3 – группы поворотов на 120 и 240°, оставляющей инвариантным равносторонний треугольник. Однако можно придумать и другие операции не изменяющие такой треугольник. Отражение относительно каждой из трех осей σ1, σ2 и σ3 также не меняет треугольник. Запишем таблицу умножения для всех шести преобразований. Мы видим, что при умножении получаем… Читать дальше »

Теория групп 2 — Изоморфизм

Май 3, 2019

Группы описывают симметрию объекта. Но как мы видели, определение группы довольно абстрактно и не привязано к геометрии. Под определение группы попадает, например, вот такая вещь.  Возьмем просто два числа: единицу и минус единицу. Таблица умножения для них имеет следующий вид. Можно убедиться, что эти два числа образуют группу. Операцией группы является простое умножение. Единичным элементом… Читать дальше »

Теория групп 1 — Определение группы

Апрель 18, 2019

Сложно переоценить значение теории групп для современных естественных наук. Приведем лишь один пример из физики. Оказывается каждому типу фундаментального взаимодействия соответствует своя группа.  Электромагнитным взаимодействиям соответствует группа с названием U(1). Слабым взаимодействиям, ответственным за ядерные распады, группа SU(2). Сильным взаимодействиям, удерживающим кварки в протонах и нейтронах соответствует SU(3). Удивительно, но свойства фундаментальных частиц и их… Читать дальше »

Реальна ли волновая функция?

Апрель 18, 2019

Наиболее распространенным заблуждением среди диванных экспертов является утверждение о реальности волновой функции. В СМИ ситуация озвучивается обычно так. Ученые разделились на 2 лагеря и спорят вот уже почти 100 лет отражает ли волновая функция реальный физический мир или является лишь математическим инструментом для вычисления вероятностей. На самом деле такая ситуация если и была, то только… Читать дальше »

Динамика гармонического осциллятора

Апрель 5, 2019

В предыдущем видео мы нашли собственные векторы и собственные значения оператора Гамильтона для гармонического осциллятора. Но зная явный вид Гамильтониана можно найти и матрицу оператора эволюции. Она равна матричной экспоненте от Гамильтониана, умноженного на –it. Как мы говорили в 41 части данное выражение фактически является явной записью решения уравнения Шредингера. То есть теперь мы можем… Читать дальше »

Стационарное уравнение Шредингера. Гармонический осциллятор.

Март 29, 2019

Запишем выражение для собственных векторов оператора энергии – Гамильтониана. Действие оператора Гамильтона на собственный вектор сводится к умножению его на число – собственное значение. Согласно постулату, собственные значения оператора — это единственно возможные величины, которые мы можем получить при измерении величины, соответствующей этому оператору. В случае Гамильтониана собственные значениями являются энергии, которыми может обладать система.… Читать дальше »