Матрицы преобразований и их генераторы

Ноябрь 24, 2016

Не только операции дифференцирования и интегрирования можно представить в виде матриц. Более простые преобразования также представляются квадратными матрицами. Проще всего понять на графическом примере выполнения преобразований над точками на плоскости. Пусть на плоскости задана точка с декартовыми координатами, которые мы будем записывать в столбец: Умножая квадратную матрицу на этот вектор-столбец получим другой вектор-столбец с другими координатами: Элементы… Читать дальше »

Метрика. Метрический тензор.

Ноябрь 23, 2016

Метрика (от слова мерить), называемая также метрическим тензором, позволяет находить длины и таким образом несет ответственность за всю геометрию пространства. Длину  вектора можно найти через его декартовы координаты по теореме Пифагора: Обычно говорят о квадрате длины, являющейся также скалярным произведением вектора с самим собой: Поскольку размерность пространства может быть больше двух, координаты удобно различать не… Читать дальше »

Интеграл и оператор интегрирования

Ноябрь 17, 2016

Если дифференциал связан с разностью, то интеграл — с суммой (integrate — совмещать, объединять). Знак интеграла представляет собой вытянутую S (summ — сумма). Интегрирование — операция обратная дифференцированию. Если нам дана функция , являющаяся производной другой функции : или , то чтобы найти эту функцию (первообразную) достаточно проинтегрировать обе стороны равенства: Поскольку символ интеграла   выполняет действие, обратное… Читать дальше »

Производная и оператор дифференцирования

Ноябрь 16, 2016

Значение дифференциального и интегрального исчислений сложно переоценить. Фактически современная наука и началась с открытия Ньютоном законов механики и разработки им же соответствующего математического аппарата для анализа следствий этих законов. С тех пор математика была и остается тесно переплетенной с физикой. Иногда для физики используется разработанный математиками аппарат, как в случае с общей теорией относительности Эйнштейна. Иногда… Читать дальше »

Геометрическая интерпретация специальной теории относительности. Световой конус.

Ноябрь 8, 2016

Все эффекты специальной теории относительности (замедление времени, сокращение расстояния) можно вывести из преобразований Лоренца, связывающих координаты и время движущейся (штрихованной) и неподвижной систем отсчета: ; ; Если построить траекторию светового луча на графике где по оси х будет координата, а по оси y время (умноженное на скорость света), то получим линию под углом 45°. Это… Читать дальше »

Световые часы: замедление времени, сокращение расстояния.

Октябрь 24, 2016

Принцип относительности приводит к неизменности скорости света вне зависимости от направления или скорости движения самой системы. Но скорость это отношение расстояния ко времени. Если не меняется скорость, значит меняются расстояния и время. Наглядно данный факт демонстрируют световые часы. Луч света движется между двумя зеркалами. За единицу времени можно принять время прохождения луча между зеркалами. В… Читать дальше »

Принцип относительности и постоянство скорости света.

Октябрь 13, 2016

Уравнение Ньютона гласит: Сила равна массе, умноженной на ускорение. Ускорение это вторая производная от координаты по времени, поэтому данное уравнение на самом деле дифференциальное: Оно позволяет узнать поведение механической системы и в отсутствии сил, при F=0. Для этого достаточно решить дифференциальное уравнение: Его решение, траектория движения x(t), выглядит как: Это уравнение прямой линии. Начальная координата … Читать дальше »

Загадка квантовых пирожков

Октябрь 6, 2016

Существует еще более простой (по сравнению с теоремой Белла) мысленный эксперимент, позволяющий продемонстрировать несовместимость классической логики и квантовой реальности. Рассмотрим изображенную на рисунке ситуацию. Кухня с двумя выходящими в противоположные стороны конвейерными лентами периодически поставляет пару закрытых духовок по одной на каждый конвейер. Есть два экспериментатора: Люси слева и Рикардо справа. Имеются две наблюдаемые величины. Первая… Читать дальше »

Роль наблюдателя. Базисные векторы и выбор базиса.

Сентябрь 21, 2016

Наиболее общим вектором состояния, описывающим квантовомеханическую систему является суперпозиция базисных векторов. Так для спина электрона это вектор: Известно, что  один и тот же вектор можно выразить через различные базисные векторы. Квантовомеханический вектор состояния также можно выразить через другие базисные векторы, например: Сами базисные векторы можно выразить через базисные векторы другого базиса: ; Проверить корректность можно через непосредственные… Читать дальше »

Теорема Белла. Часть 2 — Квантовомеханический случай.

Сентябрь 12, 2016

В первой части мы показали, что следуя классической логике теории множеств для любых высказываний всегда выполняется неравенство Белла: Оказывается оно может не выполнятся для высказываний, касающихся квантовомеханических объектов. Продемонстрируем данный факт на конкретном примере. Пусть имеется пара электронов в синглетном состоянии их спинов. Наши высказывания будут следующими: : спин первого электрона направлен вверх по оси… Читать дальше »