Математика двухкубитных систем
Двадцатая часть введения в квантовую механику.
Без математики обойтись нельзя, поэтому уделим 5 минут математике двухкубитных систем.
Как мы видели, наиболее общий вектор состояния двухкубитной системы описывается суперпозицией четырех базисных векторов. Мы находили эти векторы тензорным произведением базисных векторов однокубитного состояния. В данных выражениях осуществляется тензорное произведение двухкомпонентных вектор-столбцов.
Тензорное произведение вектор-столбцов с двумя компонентами дает вектор-столбец с четырьмя компонентами. Но ведь эти двухкубитные базисные векторы должны быть собственными векторами какого-то эрмитового оператора. Получается, что в нашем случае этот оператор должен представляться матрицей 4х4. Данную матрицу (или оператор) также можно найти тензорным произведением.
Возьмем тензорное произведение двух матриц Паули сигма_z. Тензорное произведение также называется произведением Кронекера и в маткаде выполняется одноименной функцией. Если пренебречь числовым множителем, получившаяся матрица есть оператор, соответствующий наблюдению сразу двух величин: спина первого электрона по оси z и спина второго электрона по оси z. Ее собственными векторами являются как раз рассматриваемые нами четыре вектор-столбца. То есть при измерении величины, соответствующей данному оператору, вектор состояния коллапсирует в один из этих векторов. Измеряемой величиной являются направления по оси z сразу двух спинов.
Собственные значения получившейся матрицы также есть числа +1 и -1. Заметьте что собственное значение +1 соответствует векторам вверх-вверх и вниз-вниз (первый и второй столбцы матрицы). Собственное значение -1 соответствует векторам вверх-вниз и вниз-вверх (третий и четвертый столбцы). То есть собственные значения такого оператора можно рассматривать как произведение собственных значений матриц Паули для одного спина. Так для вектора вниз-вниз измерение спина первого электрона даст собственное значение -1 и измерение второго даст -1. Их произведение как раз есть +1, то есть собственное значение матрицы, соответствующее собственному вектору вниз-вниз.
В тензорном произведении двух матриц, первую можно рассматривать как действующую на первый спин, а вторую как на второй. Все постулаты квантовой механики и ее математика остаются справедливыми и для четырехмерных векторов и операторов. Можно, например, выразить то же самое двухкубитное состояние через другой базис, то есть через собственные векторы другого оператора, соответствующего другой наблюдаемой величине. Например можно составить матрицы 4х4 и из других комбинаций трех матриц Паули.
Рассмотрим такой пример. Пусть двухкубитная система описывается следующим вектором состояния. Он также является примером запутанного состояния. Если при измерении спин первого электрона оказался вверх, то спин второго точно будет вниз относительно оси z. Вектор коллапсирует в первое слагаемое.
Однако если спин первого электрона оказался вниз, то спин второго не определен однозначно. И второе и третье слагаемые исходного вектора удовлетворяют условию, что спин первого направлен вниз. В этом случае система при измерении коллапсирует в сумму этих двух векторов. Полученная информация не говорит нам какая из альтернатив реализовалась для спина второго электрона, поэтому он остался в квантовой суперпозиции и в результате измерения может оказаться либо вверх либо вниз. То есть корреляции уже не 100%-е как в случае синглетного состояния.
При получении спина вверх у первого электрона со 100%-й вероятностью спин второго окажется направлен вниз по z. Однако если у первого вниз, с 50%-й вероятностью второй окажется вверх и с 50%-й вниз. Данный факт не противоречит постулату об измерении. Оставшаяся после коллапса сумма есть вектор, являющийся собственным вектором эрмитового оператора, соответствующего измерению спина по оси z только первого электрона.
Данный оператор представляется тензорным произведением сигма z с единичной матрицей. Можно убедиться, что при умножении этой матрицы на вектор-столбец, соответствующий приведенной сумме, получим тот же столбец, умноженный на -1 – собственное значение.
Зададим матрицу Паули сигма z, единичную матрицу и их тензорное произведение. А также три базисных вектора.
Вниз-вверх плюс вниз-вниз есть собственный вектор. В этом можно убедиться умножив сам оператор на этот вектор. Мы получили тот же самый вектор, умноженный на -1 – собственное значение. Можно также убедиться что вектор вверх-вниз также собственный с собственным значением +1. При умножении на него оператора вид вектора вообще не меняется. Вектор состояния вниз-вверх плюс вниз-вниз можно представить как тензорное произведение отдельных множителей, относящихся только к первому и только ко второму электрону. То есть данное состояние уже не запутанное. Спин первого электрона точно направлен вниз по z, а спин второго находится в квантовой суперпозиции.
При измерении спина второго электрона и эта суперпозиция разрушится. Система будет описываться вектором вниз-вверх или вниз-вниз. Эти спины также можно рассматривать по отдельности. Они есть тензорное произведение соответствующих однокубитных векторов и поэтому не являются запутанными.
