Декогеренция и классическое приближение

Август 22, 2019

Существует много способов показать как классическая механика вытекает из квантовой при переходе к макрообъектам. Все наблюдаемые величины, координата, энергия, импульс, в квантовой механике представляются операторами. В классической механике это просто числа или числовые функции.

Операторы отличаются от чисел тем, что они не коммутируют. Порядок умножения имеет значение. a*b не равно b*a в случае операторов. Но все коммутаторы в квантовой механике пропорциональны постоянной Планка. Поскольку она имеет очень малое значение в привычных для нас единицах измерения, ее приближенно можно считать нулем. Тогда квантовая механика перейдет в классическую. Операторы станут обычными числами или функциями.

Но такое объяснение не очень наглядно, правда ведь.

Можно воспользоваться понятием фазового пространства. Динамика классической механики описывается законом Ньютона F=ma. Ускорение это вторая производная от координаты. То есть закон Ньютона является дифференциальным уравнением. Чтобы его решить надо знать функцию силы, а также начальную координату и скорость. Если отложить на графике координату и скорость (а лучше скорость, умноженную на массу – импульс), но исходное состояние системы будет описываться точкой. С течением времени координата и скорость могут изменяться, и эта точка будет перемещаться в таком фазовом пространстве.

Однако в квантовой механике мы не можем представить исходное состояние системы точкой в фазовом пространстве. Вспомните соотношение неопределенностей Гейзенберга. Неопределенность в координате, умноженная на неопределенность в импульсе не может быть меньше постоянной Планка.

То есть система не может быть локализована в фазовом пространстве в области по площади меньшей постоянной Планка. Фазовое пространство квантовой механики таким образом дискретно, разбивается на ячейки. Но опять же поскольку постоянная Планка чрезвычайно мала, размеры этих ячеек малы. С высоты птичьего полета, то есть с позиции классической механики, мы не различаем эти маленькие ячейки и аппроксимируем состояние системы просто точкой.

Существуют и другие способы показать как в пределе h->0 квантовая механика переходит в классическую. Через интегралы по траекториям, например.

Наиболее современным взглядом на то как именно возникает кажущийся классический мир является теория декогеренции. Однако чтобы на математическом уровне ее рассмотреть, необходимо сначала поговорить о смешанных состояний и матрице плотности, чего мы пока не делали. Поэтому я приведу лишь основные идеи.

Вернемся к фазовому пространству. В классической механике состояние системы в начальный момент времени описывается точкой в фазовом пространстве. В теории так и есть, но на практике чтобы получить координаты этой точки надо измерить импульс и положение частицы с абсолютной точностью, с нулевой погрешностью. На практике это невозможно сделать даже в классической механике. То есть в фазовом пространстве мы всегда имеем некоторую малую область, а не точку. На практике начальное состояние даже в ньютоновской механике характеризуется некоторой функцией распределения вероятностей. Скажем с 99%-ной вероятностью система находится в такой-то малой области фазового пространства. Далее, решая уравнения мы видим как эта область расползается по фазовому пространству. То есть все предсказания оказываются вероятностными. Бывают системы, когда через относительно небольшое время предсказать что-либо с большой долей вероятности оказывается просто невозможно. Модели по предсказанию погоды являются стандартным примером. Они классические, а не квантовые, но все предсказания также дают лишь вероятности.

В чем же отличие квантовой механики? В квантовой механике вероятность находится как квадрат абсолютного значения волновой функции. Первичным элементом в квантовой механике является не вероятность, а амплитуда вероятности, волновая функция.

Но сходство описания классических систем с помощью вероятностей и квантовых систем с помощью амплитуд вероятностей очевидно. Мы можем смоделировать в классической механике поведение некоторой системы с течением времени в терминах распределения вероятностей. Но проводя реальный эксперимент мы можем померить в какой-то момент времени реальные координату и импульс системы. По результатам измерения распределение вероятностей необходимо обновить. Исключить не реализовавшиеся альтернативы. Система опять будет находиться в малой области фазового пространства, в пределах погрешности измерения. И это новое состояние принимается за исходное и из него рассчитывается последующая динамика.

Опять же предсказания погоды можно привести в пример. Распределения вероятностей постоянно обновляются при поступлении новых метеоданных. От этого меняются и предсказания будущей погоды. Вы можете видеть это по тому как выдаваемый нам прогноз погоды меняется по десять раз на дню.

В квантовой механике происходит то же самое, но система описывается амплитудами вероятностей, волновой функцией. А обновление волновой функции при получении новых данных называется коллапсом.   

Ситуации полностью аналогичны. Разница лишь в том, что в классической механике мы неявно предполагаем, что хотя мы и не можем свести погрешность при измерении к нулю, мы думаем, что система всё-таки находится в некотором конкретном состоянии. Ее координаты и импульсы определены и она описывается точкой в фазовом пространстве. Замена точки некоторой малой областью есть следствие несовершенства измерительных приборов. Мы можем сколь угодно уменьшить погрешность и приблизиться к точке и следовательно уточнить предсказания будущего сколь угодно точнее. В идеале со 100%-ной точностью.

Все это неверно в квантовом случае. Множество раз показано, в том числе и экспериментально, что мы не можем даже предполагать о наличии конкретных координаты и импульса у квантового объекта. Да, мы можем померить скажем координату. Тогда при обновлении наших данных волновая функция сколлапсирует в состояние с малой неопределенностью в координате. Но площадь ячейки фазового пространства в квантовом случае не может уменьшиться до величины меньше Планка. Соответственно при коллапсе координаты, распределение вероятности для импульса наоборот расползается.

Отсюда в квантовой механике и появляется наблюдатель. Поскольку мы не можем предполагать определенность координаты, импульса и прочих величин, все описывается только амплитудами вероятности, волновыми функциями. Коллапс волновой функции происходит при поступлении новых данных. Но кому поступают эти данные? Они поступают наблюдателю. И волновая функция таким образом отражает лишь субъективные знания наблюдателя о системе. Одну и ту же систему разные наблюдатели могут описывать разной волновой функцией. Мы видели это в 36 части на примере мысленного эксперимента Друга Вигнера. Из квантовой механики нельзя выкинуть ни наблюдателя, ни постулат о коллапсе волновой функции. Они как мы видим связаны между собой. Квантовая механика в этом смысле субъективна, а отсутствие объективной реальности подтверждается множеством экспериментов, которые мы также неоднократно обсуждали.

У многих возникает вопрос – кто является наблюдателем? Обезьяна является наблюдателем? Муравей является наблюдателем? А скажем бактерия или вирус могут быть наблюдателями? А какой-нибудь камень? А, например, электрон? Он является наблюдателем? Для самого электрона происходит коллапс волновой функции?

Квантовая механика вот что на это отвечает. Да без разницы является ли электрон наблюдателем или нет. Если даже предположить, что является, то какая вам-то от этого разница будет? Вы должны описывать состояние системы своей волновой функцией, а не волновой функцией с точки зрения электрона или бактерии. Даже если для электрона что-то там и сколлапсировало, вы то обязаны все описывать своей несколлапсированной функцией до фактического наблюдения именно вами. Функция коллапсирует при поступлении вам новых данных, а не бактерии или электрону.

Поэтому также без разницы обладает ли сознанием муравей или нет. Предсказания квантовой механики никак от этого не поменяются. Сознание не играет никакой ключевой роли. Вы можете считать, что сознание есть только у вас, а все остальные биороботы. Предсказания квантовой механики от этого не изменятся.

Ладно, вернемся к декогеренции. Понятно, что вероятности, получаемые из волновой функции и уравнений квантовой механики в общем случае не те же самые, которые получатся если рассматривать систему только классическими вероятностями и уравнениями ньютоновской механики. Но при увеличении размеров системы, функции распределения вероятностей квантовой и классической механик должны сойтись. Это так называемый принцип соответствия, сформулированный еще Нильсом Бором.

Декогеренция просто говорит насколько быстро происходит этот процесс. И оказывается очень быстро. Квантовые эффекты экспоненциально быстро убывают. Электроны и атомы надо описывать квантовой механикой. Для молекул можно придумать нечто промежуточное – модели с палочками и шариками плюс правила, которые из квантовой механики получены. Мы имеем химию. Существует и квантовая химия как отдельное направление в химии. Но если взять какую-нибудь большую молекулу, гемоглобин, например, не нет смысла рассматривать ее пространственные суперпозиции скажем. Можно приближенно считать, что у нее определены координата и импульс.

Это не значит, что квантовая механика перестает работать. Нет! Квантовая механика работает для всех объектов вне зависимости от их размеров. Просто ее предсказания будут неотличимы от предсказаний классической физики. Нет смысла рассматривать поведение бильярдных шаров волновыми функциями и уравнением Шредингера. Но это не значит, что вы не можете этого сделать. Пожалуйста, никто не запрещает. Просто вы получите тот же самый результат, что и при ньютоновском анализе.

С этим связано широко распространенное заблуждение, которое озвучивается даже некоторыми докторами наук. Они говорят, что мир перестает быть квантовым на первом же макроскопическом измерительном приборе. Никаких суперпозиций макрообъектов не может существовать. Но это совершенно неверно. Мир не может быть наполовину классическим, а наполовину квантовым. Квантовая механика универсальна и применима всегда, тогда как классическая механика – всего лишь приближение.

Вам никто не запрещает рассматривать суперпозиции «кот жив» + «кот мертв». Однако следует учитывать, что правильная суперпозиция это не «кот жив» + «кот мертв», а «атом не распался, детектор не сработал, кот жив»+ «атом распался, детектор сработал, кот мертв». Ну и еще надо добавить в это тензорное произведение кучу состояний частиц всей окружающей среды. Мы говорили об этом в 35 части.

То, что для кота волновая функция сколлапсировала не должно вас волновать, поскольку вы описываете свои знания о системе своей субъективной волновой функцией. Ваша волновая функция сколлапсирует только тогда, когда вы получите информацию. Просто нельзя представлять себе слагаемые суперпозиции существующими элементами реальности. Волновая функция не отражает реальность. Ну в том же самом смысле как не отражает реальность функция распределения вероятностей. В классической механике объективные элементы реальности существуют теоретически, но в квантовой механике они отсутствуют даже в теории.

В классической механике мы неявно предполагаем, что объективная реальность существует, а вероятности возникают из-за недостатка информации. Но вы не можете так считать в квантовом случае.

Поскольку квантовые поправки уменьшаются очень быстро, то классическую механику становится возможно применять начиная чуть ли не с молекул. Но это не значит, что мир вдруг стал объективным, а квантовая механика неприменимой.

Такую же аналогию с теорией относительности можно привести. Для расчета, скажем какого-нибудь двигателя ее не применяют не потому что она перестает работать, а потому что релятивистские поправки ничтожны. При движении шестеренок в двигателе также действуют эффекты замедления времени и сокращения расстояний, но они ничтожны.

Также и вы можете считать мир объективным и свойства макрообъектов определенными до измерения, но не забывайте, что это всего-лишь очень хорошее приближение.

Добавить комментарий