Представление Гейзенберга

Декабрь 7, 2018

Векторы состояния являются чрезвычайно полезным инструментом для анализа квантовых систем. Однако не следует забывать, что они являются всего лишь математическим инструментом. Они ненаблюдаемы в принципе. Не надо считать, что без них квантовая механика невозможна, и уж тем более отождествлять их с физической реальностью.

Изначально отцы-основатели пользовались только операторами. Первая формулировка квантовой механики вообще не содержала векторов состояния. Шредингер со своим уравнением перевел акцент на волновые функции, которые он мыслил как распределение электрического заряда или массы частиц. Чуть позднее Дирак показал, что волновые функции это просто собственные векторы операторов или суперпозиция этих векторов. Сейчас в формализме Дирака они называются векторами состояния. Соответственно,  их нельзя представлять себе как «волны материи» или «распределение заряда». Мы вернемся к волновым функциям позже, а сейчас остановимся на представлении Гейзенберга.

Все что мы можем измерить это собственные значения эрмитовых операторов. Для их нахождения векторы состояний вообще не нужны. Также квантовая механика позволяет посчитать вероятности в результате измерения обнаружить то или иное собственное значение. Эти вероятности можно найти как ожидаемые значения соответствующих операторов проекции. Или как квадрат абсолютного значения амплитуд вероятностей.

Заметьте, что во всех случаях векторы состояния формируют скалярное произведение. Они идут парами. Сам по себе вектор ненаблюдаем. Только внутреннее произведение пары векторов имеет физический смысл.

Но в предыдущих видео мы часто говорили отдельно о векторах состояния. Например, процесс измерения постулировался как коллапс вектора состояния в один из базисных векторов. То есть описывался действием на вектор оператора проекции. А эволюция квантовых систем во времени описывалась действием унитарных операторов на векторы. Мы работали в представлении Шредингера, когда под действием оператора эволюции во времени меняются векторы состояния, а эрмитовы операторы считаются неизменными.

Пусть мы хотим вычислить вероятность некоторого события, найдя ожидаемое значение соответствующего оператора проекции. Считаем что система динамическая и эта вероятность меняется во времени. В представлении Шредингера вектор состояния меняется во времени. Его вид в любой момент времени t находится действием на исходный вектор соответствующего унитарного оператора. Эрмитовым сопряжением получаем аналогичное выражение для бра-вектора.

Подставим выражения в формулу для вероятности. Выражение записано в представлении Шредингера поскольку унитарные операторы эволюции действуют на векторы состояния, а оператор проекции не меняется. Чтобы перейти к представлению Гейзенберга достаточно просто по-другому расставить скобки в произведении.

Теперь операторы эволюции умножаются на оператор проекции. Вектор состояния при этом остается неизменным. Действие унитарных операторов изменяют матрицу оператора проекции. Естественно, от расстановок скобок в произведении результат не меняется и две картины эквивалентны.

В этом весь смысл и взаимосвязь представлений Шредингера и Гейзенберга. В первом случае мы считаем, что под действием операторов эволюции изменяется вектор состояния. Во втором считаем, что меняется сам оператор, а вектор состояния постоянен и равен исходному вектору.

Давайте для примера приведем выражение для собственных векторов. Действие оператора на собственный вектор эквивалентно умножению собственного значения на этот вектор. Данное равенство записано в представлении Шредингера. Оператор не меняется и его собственные векторы соответственно тоже не изменяются во времени.

Но собственные векторы эрмитового оператора формируют базис. Это как раз те самые базисные векторы по которым мы раскладывали векторы состояния в виде суперпозиции. То есть в представлении Шредингера базисные векторы не меняются, а изменяется сам вектор состояния.

Но в представлении Гейзенберга оператор меняется во времени, и соответственно его собственные векторы также изменяются. Базисные векторы в представлении Гейзенберга меняются с течением времени, а сам вектор состояния нет. Это опять ничему не противоречит, потому что физическим смыслом обладает только скалярное произведение векторов.

Вероятность того что при измерении получим значение a можно найти как квадрат абсолютного значения соответствующей амплитуды вероятности. Запишем эту амплитуду вероятности в представлении Шредингера как скалярное произведение вектора состояния с базисным вектором, соответствующим собственному значению a. Исходный вектор состояния меняется во времени, а базисный вектор стационарен. Изменение вектора состояния во времени описывается действием унитарного оператора эволюции.

Опять, переход к представлению Гейзенберга осуществляется другой расстановкой скобок. Теперь оператор измеряемой величины и соответственно базисный вектор меняется во времени. В данной записи оператор эволюции действует на базисный вектор. Опять же выражения дадут один и тот же результат поскольку отличаются только расстановкой скобок в произведении.

Обратите внимание на маленький нюанс. На базисный бра-вектор действует унитарный оператор. Для получения аналогичного выражения для кет-вектора необходимо выполнить эрмитово сопряжение. Получается, что в отличие от Представления Шредингера где на кет-вектор действует сам унитарный оператор, в представлении Гейзенберга на базисный кет-вектор надо действовать эрмитово-сопряженным оператором эволюции.

Можно себе представить, что в одной картине вектор состояния вращается относительно базисных векторов, а в другой картине базисные векторы вращаются относительно неподвижного вектора состояния, но уже в противоположную сторону. В любом случае угол между векторами будет одним и тем же и физический результат не меняется.

Как же описывается процесс коллапса?

В 34 части мы говорили, что коллапс можно описать действием оператора проекции на вектор состояния. Но это было в представлении Шредингера. В представлении Гейзенберга все аналогично, но операторы проекции изменяют уже оператор. Мы не поставили крестик у левого оператора проекции, потому что операторы проекции эрмитовы. Эрмитово сопряженный эрмитов оператор равен исходному.

Но действие оператора проекции как мы говорили в части 34 не сохраняет норму. Операторы проекции не унитарны.  Необходимо заново нормировать вектор в представлении Шредингера и оператор в представлении Гейзенберга. Да, для операторов также существует понятие нормы.

Большинство вычислений проще производить в представлении Шредингера, поскольку компонент у векторов меньше, чем у квадратных матриц. Однако с концептуальной точки зрения ключевое отличие квантовой механики от классической состоит именно в том, что наблюдаемые величины представляются не функциями или числами, а операторами. Не следует уделять векторам состояния ключевую роль и забывать об операторах. Как мы видели векторы вообще можно сделать статическими.

Многие концептуальные вещи проще понять с помощью операторов, а не векторов состояния. Например, если операторы не коммутируют, то соответствующие им величины нельзя знать одновременно. Данное утверждение универсально и применимо к любым двум операторам. Более детальный анализ приводит общему выражению для принципа неопределенности Гейзенберга. Оно уже будет работать не только для операторов координаты и импульса.

Добавить комментарий