Ожидаемые значения операторов проекции
С помощью операторов проекции и формулы для вычисления среднего значения можно переформулировать правило Борна. В предыдущих частях мы использовали его в записи через амплитуду вероятности.
Если у нас имеется система, описываемая вектором состояния пси и мы хотим знать вероятность того что при измерении она окажется в состоянии фи, то необходимо составить амплитуду вероятности и возвести ее абсолютное значение в квадрат.
Однако ту же самую вероятность можно получить как ожидаемое значение соответствующего оператора проекции.
Эквивалентность этих выражений легко проверить. Запишем оператор проекции через внешнее произведение кет- и бра- векторов. Подставим его в выражение для вероятности. Мы получим произведение двух амплитуд вероятности. Поменяв порядок бра- и кет- векторов в одной из них мы увидим, что это просто произведение комплексного числа на свое сопряжение, то есть квадрат абсолютного значения.
То есть правило Борна можно сформулировать так: Если у нас имеется система в состоянии пси и мы хотим знать вероятность того что при измерении мы получим определенный результат, то необходимо найти ожидаемое значение соответствующего оператора проекции.
Приведем пример. Пусть у нас имеются два электрона в запутанном синглетном состоянии относительно спинов. Скажем мы хотим знать вероятность того, что при измерении спин первого окажется вверх по оси z, а спин второго вниз. Нам необходимо найти ожидаемое значение соответствующего оператора проекции. Вычислить данное выражение можно либо перейдя к явному виду векторов и операторов в матричной записи, либо непосредственно воспользоваться формализмом Дирака. Давайте посчитаем с помощью бра- и кет- векторов. Подставим выражения для синглетного состояния и оператора проекции в формулу для вероятности.
Выражение на первый взгляд кажется сложным, но раскрывая скобки мы получим амплитуды вероятности, которые либо равны нулю если векторы разные, либо единице если это один и тот же вектор. Данный факт следует из того, что векторы вверх вниз и вниз вверх ортогональны и нормированы. Таким образом все выражение равно, то есть 50%. Конечно этот результат легко видеть и из самого синглетного состояния не проводя никаких вычислений. Коэффициенты в разложении вектора состояния по базисным и есть амплитуды вероятности. в нашем случае.
Давайте посчитаем еще одну вероятность, скажем того, что спины обоих электронов окажутся направлены вверх, причем измерение будем проводить не по оси z, а по оси x. Если бы мы измеряли спины по оси z, то мы бы получили нулевую вероятность потому что слагаемое вида «вверх-вверх» в выражении синглетного состояния отсутствует. Посчитаем с помощью матричной записи что будет в случае оси х. Поскольку Маткад не умеет выполнять внешнее произведение, воспользуемся матлабом.
Зададим кет-векторы up «вверх» и down «вниз» по направлению оси z. Апострофом в матлабе обозначается операция эрмитового сопряжения. То есть наши векторы up и down это вектор-столбцы. Аналогично зададим кет-вектор х, обозначающий «вверх по оси x». Нормирование задано как деление вектора на свою норму. По-сути данная операция просто добавляет множитель.
Зададим двухкубитные кет-векторы «вниз-вверх», «вверх-вниз» по оси z и вектор xx, соответствующий направлению «вверх-вверх» по оси x. Для этого функцией kron выполняем произведения соответствующих двухкомпонентных кет-векторов. В результате мы имеем вектор-столбцы с четырьмя компонентами.
Зададим синглетное состояние «вверх-вниз» минус «вниз-вверх». Нормирование добавляет множитель. Зададим оператор проекции произведением кронекера кет-вектора хх с соответствующим бра-вектором. Операция перевода кет-вектора в бра-вектор осуществляется эрмитовым сопряжением, то есть апострофом в матлабе. Оператор Р есть квадратная матрица 4х4. Искомая вероятность есть ожидаемое значение этого оператора проекции и в матлабе записывается одной строчкой.
Запустив программу увидим в результате ноль. С нулевой вероятностью спины двух электронов в синглетном состоянии окажутся оба направлены вверх по оси х. Если один направлен вверх, то другой точно направлен вниз. Квантовые корреляции сохраняются и для оси х.
На самом деле для синглетного состояния они будут сохраняться относительно любого выбранного направления в пространстве. Относительно любой оси спины антикоррелированы. Говорят, что синглетное состояние сферически симметрично.
Может показаться что все запутанные состояния обладают таким свойством. Но это не так. Поменяем знак в синглетном состоянии с минуса на плюс. То есть изменим амплитуду вероятности. Это тоже запутанное состояние. Оно называетсся триплетным. Относительно оси z ничего не поменялось. Вероятность вычисляется как квадрат абсолютного значения амплитуды. Операция взятия абсолютного значения, да и возведение в квадрат все равно убирает все минусы. Относительно оси z измерения спинов продолжат быть антикоррелированы.
Однако если мы запустим программу, то увидим, что вероятность обнаружить спины двух электронов направленными вверх по оси х равна 50%. Триплетное состояние не обладает сферической симметрией. Можно даже оставить знак минус, но добавить мнимую единицу. Опять же для оси z ничего не поменяется из-за взятия абсолютного значения. Но если мы запустим программу, то увидим, что вероятность уже равна 25%.
Квантовая механика не может обойтись без комплексных чисел. Хотя они и не появляются в окончательных результатах вычислений, они тем не менее влияют на эти результаты.
