Относительность 15 — Обзор математики общей теории относительности
Общая теория относительности описывает гравитацию как искривление пространства-времени. Хотя в случае поверхности понятие кривизны достаточно интуитивно, концепция искривленного пространства-времени уже не так интуитивна.
К тому же для описания искривленных пространств требуется достаточно сложна математика – тензорный анализ. Требуются тензорные поля и их производные на искривленных многообразиях.
В ОТО гравитация эквивалентна пространству-времени, а оно описывается метрикой. Понятно, что кривизна должна как-то зависеть от метрики. Однако из вида самой метрики не так-то просто понять где и как искривлено описываемое ею пространство.
Математически кривизна характеризуется тензором четвертого ранга – тензором кривизны Римана. Он в свою очередь находится через связность и ее производные. Связность же, называемая также символами Кристоффеля, появляется при введении понятия ковариантной производной и находится с помощью метрики и ее производных. Получается тензор кривизны Римана содержит вторые производные метрики.
Как именно материя влияет на кривизну пространства-времени описывается уравнением Эйнштейна. Оно по определенным причинам включает в себя не сам тензор Римана, а тензоры, находящиеся его сверткой — тензор Риччи и скалярную кривизну.
Записанное через них, уравнение Эйнштейна выглядит достаточно просто. Однако если его переписать в терминах метрики, которую нам в конечном счете и надо из него найти, то получится система сложных нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка.
Решить их аналитически и найти явный вид метрики удается только в простейших, симметричных случаях. Так метрика Шварцшильда – это решение уравнения Эйнштейна для сферически-симметричного тела (планеты, звезды, черные дыры).
Все что чуть более сложнее, например процесс слияние двух черных дыр, находится численным моделированием, которое в ОТО само по себе чрезвычайно сложное.
Таким образом, для понимания математики ОТО нам необходимо поближе познакомиться с такими объектами как метрика, ковариантная производная, связность и символы Кристоффеля, тензоры Римана и Риччи, уравнение Эйнштейна.
Тело, на которое действует только гравитация, движется по так называемой геодезической. Поэтому нам понадобится еще и уравнение геодезической.
После этого можно перейти к изучению интересных решений уравнения Эйнштейна и инструментов для их исследования. Различные диаграммные техники, диаграммы Пенроуза, например. С помощью них можно поисследовать черные дыры, горизонты событий и сингулярности.
В принципе космология тоже во многом исследуется методами ОТО, но ее обычно выделяют в отдельный раздел. Как и квантовую теорию поля в искривленных пространствах.
