Принцип наименьшего действия #1

Я впервые узнал о принципе наименьшего действия еще давно из Фейнмановских лекций. Попробую кратко пересказать по памяти.

Фейнман говорит, представьте такую ситуацию: вы загораете на пляже у моря и вдруг видите, что симпатичная девушка начинает тонуть. Вы конечно прямиком бросаетесь в воду и плывете ее спасать.

Но если немного подумать, то такая прямая линия не является оптимальной траекторией. Вы плывете гораздо медленнее, чем бежите. Наверное, с точки зрения уменьшения общего времени лучше сначала добежать до моря прямо напротив девушки и только потом плыть. Тогда вы минимизируете время когда вы плывете. Но если немного поразмыслить, то окажется, что это тоже не оптимальная траектория. Вам приходится очень долго бежать по суше. Траектория, минимизирующая общее время, будет где-то между этими двумя крайностями.

Можно подумать, что эта такая задача из области развлекательной математики – нужно найти траекторию, минимизирующую время прохождения из точки А в точку Б. Но на самом деле оказывается что и всю серьезную физику можно переформулировать в такого типа задачи.

Если мы заменим нашего бегущего человека световым лучом, то есть потребуем, чтобы он исходил из точки А и достигал точки Б, то мы обнаружим, что он пойдет по такой траектории, которая минимизирует время его прохождения. У луча скорости движения в воде и в воздухе тоже разные. Луч пойдет не по прямой, а будет преломляться.

Данный факт известен как принцип Ферма:

Свет выбирает из множества путей между двумя точками тот путь, который потребует наименьшего времени.

Из данного принципа Пьер Ферма в 1662 году смог вывести законы отражения и преломления света.

Математически время прохождения лучем находится как определенный интеграл от точки А до Б от dt или что то же самое как ds деленый на v (время это расстояние деленная на скорость, а скорость света зависит от среды через которую движется луч).

Это определенный интеграл и поэтому на выходе он даст число. И для истиной траектории света этот интеграл даст минимальное по сравнению с любой другой траекторией число.

В 1834 году Уильям Гамильтон обобщил эту идею. Он постулировал, что любую физическую теорию, не только геометрическую оптику, можно получить из аналогичного принципа. Сейчас он известен как принцип наименьшего действия.

Величина, обычно обозначаемая большой S, называется действием. Она находится как определенный интеграл от начальной до конечной точек от другой функции L, называемой лагранжианом. Для истиной траектории системы величина действия будет либо минимальной либо максимальной по отношению ко всем другим, то есть стационарной. Хотя исторически название так и осталось – принцип наименьшего действия.

Для каждой физической теории просто меняется вид подынтегрального выражения – лагранжиана. Задание физической теории таким образом сводится к заданию вида лагранжиана. Так для Ньютоновской механики лагранжиан равен разности кинетической и потенциальной энергий.

Допустим, например, мы не знаем, что тела в гравитационном поле при броске будут двигаться по параболе. Гипотетически можно соединить две точки бесконечным числом траекторий.

Но если для каждой из них мы вычислим величину действия, то есть в нашем случае интеграл от m*v^2/2-m*g*h, то окажется, что именно в случае параболы он будет минимален.

Вот результат работы программы по подбору траектории, минимизирующей действие для частицы в гравитационном поле. Из начальной прямой линии вырисовывается парабола.

Не существует универсального способа нахождения вида лагранжиана для конкретной физической теории, но они есть для всех. И для электромагнетизма и для ОТО Эйнштейна. Кстати для последней, исторически уравнения Эйнштейна были получены немного ранее Давидом Гильбертом именно из принципа наименьшего действия.

Действие также используется и в КМ для нахождения амплитуд вероятностей посредством знаменитого Фейнмановского интеграла по траекториям. Но принцип наименьшего действия там уже не работает. В КМ движение частицы нельзя описать траекторией, соответствующей минимуму действия. Согласно принципу неопределенности Гейзенберга, само понятие траектории частицы не имеет смысла.