Стационарное уравнение Шредингера. Гармонический осциллятор.

Запишем выражение для собственных векторов оператора энергии – Гамильтониана. Действие оператора Гамильтона на собственный вектор сводится к умножению его на число – собственное значение.

Согласно постулату, собственные значения оператора — это единственно возможные величины, которые мы можем получить при измерении величины, соответствующей этому оператору. В случае Гамильтониана собственные значениями являются энергии, которыми может обладать система.

Оператор энергии равен сумме кинетической и потенциальной энергий. Мы записали кинетическую энергию через импульс. Подставим координатное представление оператора импульса и запишем потенциальную энергию как функцию координаты х.

Выражение для собственных векторов и значений тогда примет следующий вид. Мы заменили вектор состояния его координатным представлением —  волновой функцией. Данное уравнение называется стационарным уравнением Шредингера. Или независящим от времени уравнением Шредингера. Именно это уравнение Шредингер и получил в 1926 году. Современную версию, содержащую время, записал Дирак. Но под уравнением Дирака сейчас подразумевают его знаменитое релятивистское уравнение, а нерелятивистскую версию также называют уравнением Шредингера.

Итак, задача нахождения энергетического спектра системы свелась к заданию функции потенциальной энергии и поиску решений стационарного уравнения Шредингера.

Никому кроме Шредингера не нравится решать дифференциальные уравнения, поэтому мы лучше непосредственно найдем собственные векторы и значения оператора Гамильтона на компьютере. Все математические пакеты умеют находить собственные векторы и значения матриц.

Нам надо дискретизировать оператор взятия второй производной, то есть представить его в виде большой, но конечной квадратной матрицы. Следующая матрица как раз является аппроксимацией второй производной. Если представить, что она умножается на вектор-столбец, то любой i-й элемент получившегося вектор-столбца равен следующему выражению. Но это как раз конечноразностная аппроксимация второй производной. То есть получившийся вектор-столбец является второй производной от исходной функции – первого вектор-столбца.

Итак, чтобы получить оператор кинетической энергии достаточно умножить эту матрицу на -1/2m. Потенциальная энергия — это просто числовая функция, поэтому ее оператор представляется диагональной квадратной матрицей. Прибавляя ее к матрице оператора кинетической энергии изменяются только диагональные элементы.

Мы получили матрицу, аппроксимирующую одномерный оператор Гамильтона. Осталось только выбрать конкретный вид потенциала и найти ее собственные векторы и значения на компьютере.

Выберем квадратичный потенциал. Такая система называется гармоническим осциллятором. В классической механике это маятник или пружина. То есть моделируются колебания. Сила равна минус производной от потенциальной энергии, то есть в нашем случае -2kx. То есть она направлена в противоположную сторону (возвращающая) и увеличивается с ростом x. Колебательные системы обладают такими характеристиками: как раз пружина или маятник. Но в квантовой механике силы фактически не используются. Как мы видим вместо них в уравнении Шредингера появляется потенциал.

Для нахождения собственных векторов и значений воспользуемся матлабом. Большую часть из 20 строчек кода занимает формирование матрицы Гамильтониана и вывод результата в виде графиков. Само нахождение собственных векторов и значений выполняется одной командой eig.

Программа выводит на графике сам вид потенциала (красным) и собственные значения, показанные горизонтальными линиями. Мы видим, что энергетический спектр гармонического осциллятора оказывается дискретным. Мы наблюдаем эффект квантования. Согласно постулату, при измерении энергии гармонического осциллятора мы не можем получить никакие промежуточные значения. Только одно из получившихся собственных значений оператора энергии.

Расстояния между энергетическими уровнями оказались одинаковыми. Это свойство гармонического осциллятора, то есть потенциала вида x². Другие виды потенциальной функции приводят к другим спектрам.

Но каждому собственному значению соответствует собственный вектор. Согласно постулату, при измерении вектор состояния коллапсирует в собственный вектор, соответствующий измеренному собственному значению.

Матлаб сразу нашел нам и все собственные векторы. Вот так выглядит первый собственный вектор. Вот второй. Вот третий. Вот десятый. Теперь понятно почему вектор состояния в координатном базисе исторически получил название волновая функция. Для простейших систем собственные векторы имеют вид стоячих волн.

Однако следует помнить, что вектор состояния и волновая функция ненаблюдаемы в принципе. И они могут быть комплекснозначными.  Физический смысл имеет только квадрат абсолютного значения, да и то только в терминах вероятности.

График квадрата абсолютного значения первого вектора в нашем случае выглядит также. Вот график для второго. И третьего. Вероятности не могут быть отрицательными. Видим, что вероятность обнаружить частицу локализована в небольшой области и стремится к нулю в пределах +- бесконечность. Частица стремится минимизировать свою энергию и поэтому локализована вблизи минимума потенциала, но вероятность обнаружить ее осциллирует в этой области. Появляется что-то вроде интерференционных максимумов и минимумов. При увеличении энергетического уровня, область где можно обнаружить частицу расширяется, но все равно симметрична относительно минимума потенциальной энергии.

Заметьте также, что число ноль не входит в список собственных значений гармонического осциллятора, а значит при измерении мы никогда не получим нулевую энергию. Квантовомеханический маятник не может не колебаться. Классические представления, что при нуле градусов Кельвина все колебания атомов и молекул останавливаются, неверны в квантовом случае.

Аналогичная ситуация возникает в квантовой теории поля, когда даже у вакуума, где вроде бы ничего нет, оказывается ненулевая энергия. Она известна как темная энергия. Интересно, что ее вычисленная теоретическая величина больше экспериментально измеренной на 120 порядков.

Однако не следует рассматривать данный факт как экспериментальное опровержение самой квантовой механики. Можно считать квантовую механику неким фреймворком, на основе которого строятся более детальные теории. Результат лишь наводит на мысль, что квантовая теория поля не учитывает какие-то эффекты, критичные для расчета величины темной энергии, или темная энергия не то же самое, что энергия вакуума, или сама квантовая теория поля является всего лишь приближением. Так же как гармонический осциллятор всего лишь идеальный математический маятник, не обязанный описывать все свойства реального маятника.