Матрицы Паули

Двенадчатая часть элементарного введения в квантовую механику.

В предыдущих видео мы видели, что спину по осям x, y и z соответствуют эрмитовы операторы Sx, Sy и Sz. Их можно представить как одна вторая, умноженная на некие квадратные матрицы размером 2×2. Они известны под названием «матрицы Паули» и обозначаются обычно буквой сигма с соответствующим индексом.

Следует понимать, что матрицы это всего лишь конкретное представление абстрактного оператора. Можно подобрать другой набор матриц, удовлетворяющих всем алгебраическим свойствам операторов и получить другое представление того же самого оператора. Исторически матрицы Паули являются наиболее популярным представлением операторов спина.

Также нет ничего особенного в выборе направления осей x y z. Можно скажем поменять оси y и z местами. Предсказания квантовой механики от этого не изменятся. Вы можете сказать: ведь направление в пространстве может быть произвольное, а не только совпадающее с осями координат. Как же найти оператор спина для произвольного направления? Оказывается трех матриц Паули достаточно для получения оператора спина относительно произвольной оси.

Также как обычный вектор можно разложить на сумму базисных, умноженных на декартовы координаты, оператор спина можно представить суммой матриц Паули. Коэффициентами перед матрицами в этом случае являются декартовы координаты обычного вектора, указывающего направление оси. То есть матрицы Паули являются базисными матрицами по которым можно разложить произвольный оператор спина.

Сокращенно данное выражение записывают как скаларное произведение вектора n с сигма. В развернутом виде скалярное произведение есть сумма произведения компонент. В качестве компонент сигма как раз выступают три матрицы Паули.

Квадратная матрица, умноженная на число есть также квадратная матрица. Сумма квадратных матриц дает другую квадратную матрицу. То есть представлением оператора спина относительно произвольной оси также является квадратная матрица 2х2.

Если указывающий направление вектор нормирован, то есть единичной длины, то собственные значения оператора S относительно любого направления тоже есть числа +1/2 и -1/2. Электрон может отклонится только вверх или вниз относительно любой оси.

Так как мы теперь знаем общий вид оператора спина относительно произвольно направленной оси, мы можем посчитать вероятность прохождения электроном двух приборов Штерна-Герлаха, ориентированных друг относительно друга на произвольный угол. Алгоритм тот же. Необходимо найти собственные векторы соответствующих операторов, составить амплитуду вероятности и возвести ее абсолютное значение в квадрат.

Давайте посчитаем для примера вероятность отклонения вверх электрона при прохождении двух приборов Штерна-Герлаха, повернутых на 45 градусов друг относительно друга. Для простоты первый расположим ориентированным по оси z. Второй возьмем повернутым на 45 градусов в плоскости x-z. Единичный вектор в этом направлении будет иметь декартовы координаты (1/sqrt_2,0, 1/ sqrt_2). Найдем оператор спина по данному направлению. И его собственные векторы. Скалярное произведение первого собственного вектора с первым собственным вектором оператора спина по оси z есть амплитуда вероятности. Квадрат ее абсолютного значения как раз искомая вероятность. Если собственные векторы находить не численными методами, а строго аналитически, то можно получить точную формулу для вероятности. Она равна единице плюс косинус альфа, деленные на два. Где альфа – угол между осями ориентации двух приборов Штерна-Герлаха.

Как это ни странно, из матриц с нулями, единицами и мнимыми единицами вдруг появился косинус. В матрицах Паули неявно уже заложена геометрия трехмерного пространства.

Еще одна особенность матриц Паули – они не коммутируют. То есть разный порядок умножения дает разный результат. Например можно убедиться что сигма x умноженная на сигма z не то же самое что сигма z умноженная на сигма x. То есть коммутатор сигма x с сигма z, обозначаемый квадратными скобками, не равен нулю. Данный факт несет в себе глубокий физический смысл.

Выделим его в виде постулата: Значения величин, операторы которых не коммутируют невозможно знать одновременно.

Поскольку коммутатор операторов спина относительно разных осей не равен нулю, невозможно одновременно узнать значение спина относительно разных осей. Измерение спина относительно какой-то оси делает неактуальной ранее полученную информацию о спине относительно другой оси. Или можно сказать: измерение одной величины влияет на другую.

Более известный пример данного факта это знаменитый принцип неопределенности Гейзенберга. Поскольку операторы координаты и импульса не коммутируют, мы не можем измерить обе величины одновременно с абсолютной точностью.