Операторы проекции

Бра- и кет- векторы Дирака замечательны тем, что с помощью них можно записать различные типы произведений.

Произведение бра-вектора на кет- вектор называется скалярным произведением или внутренним произведением. По сути это стандартное матричное произведение по правилу «строка на столбец». Результатом его есть комплексное число.

Произведение кет-вектора на другой кет-вектор дает уже не число, а другой кет-вектор. Он тоже представляется вектор-столбцом, но с количеством компонент равном произведению размерностей исходных векторов. Такое произведение называется тензорным произведением или произведением Кронекера.

Аналогично и для произведения двух бра-векторов. Получим большую вектор-строку.

Последним остается вариант с перемножением кет-вектора на бра-вектор. То есть необходимо перемножить столбец на строку. Такое произведение также называется тензорным или внешним произведением. В его результате получается матрица, то есть оператор.

Рассмотрим пример использования таких операторов.

Возьмем какой-нибудь произвольный эрмитов оператор А. Согласно постулатам ему соответствует какая-то наблюдаемая величина. Собственные векторы эрмитового оператора формируют базис. Наиболее общий вектор состояния можно разложить по этому базису. То есть представить суммой базисных векторов с определенными комплексными коэффициентами. Данный факт известен как принцип суперпозиции. Перепишем выражение через знак суммы.

Но коэффициенты в разложении вектора по базисным есть амплитуды вероятности, то есть скалярное произведение вектора состояния с соответствующим базисным вектором. Запишем эту амплитуду справа от вектора. Выражение под знаком суммы можно рассматривать как умножение кет-вектора на комплексное число – амплитуду вероятности. С другой стороны его можно рассматривать как произведение матрицы, полученной умножением кет-вектора на бра-вектор, и исходного кет-вектора. Кет-вектор можно вынести из под знака суммы за скобку. Справа и слева знака равенства окажется один и тот же вектор пси. Это значит, что вся сумма ничего не делает с вектором и соответственно равна единичной матрице.

Данная формула сама по себе очень полезна при манипулировании выражениями с произведениями бра- и кет- векторов. Ведь единицу можно вставить в любое место произведения.

Посмотрим что же из себя представляют матрицы, входящие в сумму и получаемые тензорным произведением базисного кет-вектора со своим эрмитовым сопряжением. Опять же для наглядности проведем аналогию с обычными векторами в трехмерном пространстве.

Выберем единичные базисные векторы ex ey и ez, совпадающие по направлению с осями координат. Тензорное произведение вектора ex на свое сопряжение будет представляться следующей матрицей. Возьмем произвольный вектор v. Что же будет при умножении этой матрицы на вектор? Данная матрица просто обнулила все компоненты вектора кроме х. В итоге получился вектор, направленный вдоль оси х, то есть проекция исходного вектора на базисный вектор ex. Выходит наша матрица есть не что иное как оператор проекции.

Оставшиеся два оператора проекции на базисные векторы ey и ez представляются похожими матрицами и выполняют аналогичную функцию – обнуляют все кроме одной компоненты вектора.

Что же получится при суммировании операторов проекции? Сложим например операторы Px и Py. Такая матрица будет обнулять только z-компоненту вектора. Итоговый вектор всегда будет лежать в плоскости x-y. То есть мы имеем оператор проекции на плоскость x-y.

Теперь понятно почему сумма всех операторов проекции на базисные векторы равна единичной матрице. В нашем примере мы получим проекцию трехмерного вектора на само трехмерное пространство. Единичная матрица по-сути и есть проектор вектора самого на себя.

Получается задание оператора проекции эквивалентно заданию подпространства исходного пространства. В рассматриваемом случае трехмерного евклидового пространства это может быть одномерная линия, задаваемая одним вектором или двумерная плоскость, задаваемая парой векторов.

Возвращаясь к квантовой механике с ее векторами состояния в Гильбертовом пространстве, можно сказать что операторы проекции задают подпространство и проецируют вектор состояния в это Гильбертово подпространство.

Приведем основные свойства операторов проекции.

1. Последовательное применение одного и того же оператора проекции эквивалентно одному оператору проекции. Обычно данное свойство записывают как P²=P. Действительно, если первый оператор спроецировал вектор в подпространство, то второй уже ничего с ним не сделает. Вектор ведь уже будет находиться в этом подпространстве.
2. Операторы проекции являются эрмитовыми операторами, соответственно в квантовой механике им соответствуют наблюдаемые величины.
3. Собственные значения операторов проекции любой размерности это только числа единица и ноль. Находится вектор в подпространстве или не находится. Из-за такой бинарности, описываемую оператором проекции наблюдаемою величину можно сформулировать в виде вопроса, ответом на который будет «да» или «нет». Например, направлен ли спин первого электрона в синглетном состоянии вверх по оси z? Такому вопросу можно поставить в соответствие оператор проекции. Квантовая механика позволяет посчитать вероятности для ответа «да» и для ответа «нет».

В дальнейшем мы еще будем говорить об операторах проекции.