Теория групп 11 — Спиноры и группа SU(2)

Гамильтон конечно намного опередил свое время введя кватернионы. Представьте только, что в его время не были известны ни векторы, ни матрицы, ни тем более операторы. Ввести объекты для которых не соблюдается коммутативный закон умножения было более чем оригинально.

Итак, по определению вектором называется чистый кватернион. Но эта сумма очень похожа на разложение вектора по трем базисным векторам. Именно поэтому декартовы базисные векторы часто обозначаются буквами i j k.

Но в предыдущем видео мы видели, что абстрактным мнимым единицам i j k можно поставить в соответствие вполне конкретные матрицы. Но если i j k представлять матрицами, то их сумма, то есть вектор, также будет представляться матрицей. Множитель –i в таком представлении можно опустить и вектор будет просто суммой матриц Паули, умноженных на соответствующие декартовы координаты. Можно сказать, что вектор представлен в базисе матриц Паули.

В девятой части мы также видели, что показательную форму записи комплексного числа с позиции теории групп Ли можно рассматривать как формулу, связывающую генератор группы с элементами группы. То есть мнимую единицу можно рассматривать как генератор, а ее экспоненцирование дает элемент группы. В случае комплексных чисел группа называлась U(1) и являлась изоморфной группе двумерных поворотов SU(2). В случае трех измерений группа поворотов называется SO(3) и нетрудно догадаться, что ей должна быть изоморфна группа U(2). На самом деле не U(2), а SU(2).

И действительно, если проэкспоненцировать матричное представление трех мнимых единиц i j k, умноженных на параметр группы (угол поворота), получим матрицы 2х2 с комплексными элементами. Но не любые матрицы 2х2. Матрицы получаются унитарными. То есть для них удовлетворяется свойство унитарности. Матрица, умноженная на эрмитово-сопряженную матрицу равна единичной матрице. Или что то же самое, эрмитово-сопряженная унитарная матрица равна обратной.

Заметьте сходство с условием ортогональности, для группы поворотов SO(3). У нас вместо транспонирования стоит эрмитово сопряжение, то есть транспонирование + комплексное сопряжение.

Итак, чем интересна группа SU(2). Во-первых ее элементы изоморфны кватернионам, мы ведь получили их экспоненцированием мнимых единиц i j k. Но как мы говорили в предыдущем видео, для поворота вектора кватернион нужно умножать с двух сторон. Если воспользоваться показательным представлением, получим следующее.

Заметьте, что угол поворота в каждой из экспонент идет со множителем ½. Поскольку экспонент две, то в каждой стоит половинный угол.

Посмотрим как это работает…

Но с другой стороны такая формула не очень вписывается в теорию групп Ли. Во всех остальных группах, которые мы рассматривали элемент группы сразу действует на объект, одной экспонентой. И параметр группы он без всяких множителей идет. То есть для группы SU(2) правильнее было бы записать следующее.

Заметьте, что объект на который действует элемент группы SU(2) не может быть вектором. Хотя бы потому, что унитарные матрицы содержат комплексные элементы. Умножение таких матриц на вектор-столбец пусть даже с действительными элементами даст в общем случае вектор-столбец с комплексными элементами. Но координаты векторов не могут быть комплексными числами.

Такой математический объект, на который действуют элементы группы SU(2) получил название спинор. Понятно, что он имеет связь с обычными векторами, поскольку группа SU(2) изоморфна группе SO(3). Его можно представить как вектор с комплексными компонентами. Заметьте, что этих компонент только две, хотя у обычных векторов в трехмерном пространстве их три.

Заметьте также, что согласно теории групп параметр группы Ли идет без всяких множителей. Поскольку параметр в нашем случае отражает поворот, то он меняется от 0 до 2π. Но при повороте спинора на угол α, соответствующий ему вектор повернется на угол 2α, опять же из-за того что для векторов две экспоненты нужны.

Получается, что поворот спинора в спинорном пространстве на угол 2π соответствует повороту вектора в обычном трехмерном пространстве на угол 4π. Данное свойство называется double cover двойное покрытие. Один оборот спинора соответствует двум оборотам вектора.

Обычно все же исходят от обычного трехмерного пространства и говорят, что поворот на угол α вектора соответствует повороту на угол α/2 спинора. Отсюда и множитель ½ в углах. Он появляется из за того, что угол α берется из обычного трехмерного пространства, хотя мы говорим о спинорном пространстве. В общем это просто удобное соглашение, поскольку вообразить угол в спинорном пространстве проблематично. И все приложения обычно касаются нашего обычного трехмерного пространства, а не абстрактного спинорного.

Итак, группа SU(2) изоморфна группе SO(3) локально, обе они описывают поворот, но они отличаются глобальной структурой из-за двойного покрытия группой SU(2) группы SO(3).

Из-за этого двойного покрытия следует еще один интересный факт. Если повернуть вектор на угол 360° (2π) то спинор повернется на угол π. И если вектор вернется в исходное состояние, то спинор не обязан этого делать. На самом деле получится спинор с противоположным знаком. Формула Эйлера e^iπ=-1 работает не только для мнимой единицы i, но и для мнимых единиц j и k.

Это все конечно интересно скажете вы, но для чего нужны эти абстрактные спиноры. Мы ведь не встречаем в Природе объектов, которые при повороте на 360° меняют знак.

Вот тут вы ошибаетесь. Вся материя из которой мы состоим (электроны, кварки), все частицы с полуцелым спином (фермионы) описываются спинорами. Их вектор состояния или волновая функция меняет свой знак при повороте на 360°. Спиноры служат математическим описанием квантового спина. Именно рассматривая спин Паули ввел свои знаменитые матрицы.

Вы скажете, но ведь знак у волновой функции ничего не меняет. При вычислении вероятностей все равно ведь берется абсолютное значение. Да, если поменять знак у всей волновой функции, то ничего не изменится. Но мы можем поменять знак у части. Скажем будем поворачивать на 360° только то, что пройдет через одно из плеч интерферометра.

 Эксперименты с интерференцией нейтронов четко показывают, что да – при повороте на 720° ничего не меняется, но при повороте на 360° интерференционная картина меняется.