Относительность 9 — E=mc2, четыре-векторы скорости и импульса.

До настоящего времени мы рассматривали только 4-векторы, связанные с пространственно-временным интервалом.

Длина 4-вектора с координатами (t x y z) есть интервал от начала координат до точки в пространстве Минковского с координатами (t x y z).

Любым двум точкам можно сопоставить 4-вектор с координатами (Δt Δx Δy Δz), где  дельты это разницы соответствующих координат двух точек. Длина такого вектора равна длине отрезка, соединяющего эти 2 точки.

Можно даже перейти к бесконечномалым отрезкам и дифференциалам (dt dx dy dz)

Но ведь в ньютоновской механике много других векторов: скорость, ускорение, импульс, сила – все это векторные величины. Можно ли построить их релятивистские аналоги?

Давайте начнем со скорости. В классической механике компоненты вектора скорости это отношения Δx к Δt, Δy к Δt и Δz к Δt. Ну или производные, если перейти к пределу.

Но если мы попытаемся поделить координаты 4-вектора на dt, то получившийся объект не будет 4-вектором. Его длина будет меняться при преобразованиях Лоренца – Лоренцевых поворотов системы координат. Все потому, что время t меняется при преобразованиях Лоренца. Нам надо делить на Лоренцеро-инвариантную величину, чтобы опять получить 4-вектор.

Такой величиной является собственное время τ. По-сути оно также характеризует длину 4-вектора, поскольку расстояние можно измерять в световых секундах. Напомним Δτ²= Δt²— Δx²— Δy²— Δz²

Итак, компоненты 4-вектора скорости таким образом будут следующими.

Давайте найдем их явный вид. Рассмотрим сначала пространственные компоненты. dx/dτ можно представить как dx/dt*dt/dτ. Это по-сути одно и то же если сократить dt.

Но множитель dx/dt это x-компонента обычной скорости vx – первая производная координаты по времени. Осталось найти что такое dt/dτ.

По определению dτ²= dt²— dx²— dy²— dz²

или dτ= sqrt(dt²— dx²— dy²— dz²)

Вынесем dt из под знака корня

Под корнем остались компоненты скорости. То есть имеем  sqrt(1- v²)

И таким образом dt/dτ это просто Лоренцев гамма-фактор.

Возвращаясь к компонентам 4-вектора скорости мы можем записать их явный вид. Нулевая, временная компонента это гамма-фактор. Пространственные компоненты – это компоненты обычной скорости, корректируемые Лоренц-фактором.

Это 4-вектор, а значит его длина не изменяется при преобразованиях Лоренца  — смене системы координат.

Как мы видели в предыдущем видео, чтобы найти квадрат длины нам надо вектор-строку умножить на матрицу метрики Минковского и на вектор-столбец.

Или в индексных обозначениях: …

Индексная запись просто кодирует матричное правило умножения «строка на столбец».

Мы видим, что длина равна 1. Длина 4-вектора скорости всегда =1, в любой СО.

Давайте теперь поговорим про 4-вектор импульса. В классической механике импульс это произведение массы на скорость.

Помножим массу на 4-вектор скорости. Три пространственные компоненты это компоненты обычного импульса. Но опять же нам интересна нулевая, временная компонента 4-вектора.

Она оказалась равна m/sqrt(1-v2)

Что же это такое? Давайте посмотрим что происходит при малых скоростях, при переходе к нерелятивистской физике. Считая скорость v малой величиной, можно разложить Лоренц-фактор в ряд, например с помощью маткада. Беря только первые 2 члена видим, что выражение равно m+mv2/2

C  mv2/2 мы хорошо знакомы со школьной программы – это кинетическая энергия. Но размерности всех слагаемых должны совпадать. У первого слагаемого также должна быть размерность энергии. То есть массу надо умножить на квадрат скорости. Эта скорость – конечно же скорость света. Она у нас изначально явно не проявилась потомучто мы работали в единицах c=1.

Итак, нулевая компонента 4-вектора импульса это энергия. При малых скоростях ее можно аппроксимировать как mc2+mv2/2

Квадрат длины 4-вектора импульса равен m2, поскольку квадрат 4-вектора скорости =1, а импульс это произведение массы на скорость. Распишем в компонентах:

Квадрат энергии (нулевая компонента) минус квадрат импульса (пространственные компоненты) равен квадрату массы.

Если опять вернуться к размерной скорости света, то получится следующее выражение. Оно обобщает известную формулу E=mc2 для ненулевых значений импульса.

Убедитесь, что при нулевом импульсе мы возвращаемся к формуле E=mc2.

В современной физике массу не делят на массу покоя и массу, которая растет с увеличением скорости. Буква m в наших формулах называется массой, то что раньше называлось массой покоя.

Масса не растет с увеличением скорости. Это внутренняя характеристика объекта. С увеличением скорости меняются энергия и импульс. При ненулевых скоростях надо пользоваться полученной нами сегодня релятивистской формулой, обобщающей E=mc2.