Эволюция во времени

Хотя в предыдущих частях мы говорили о движущихся электронах и фотонах,  фактически все системы были статическими, не зависящими от времени. Пришло время поговорить как в квантовой механике описывается временная эволюция. Согласно постулату, наблюдаемым величинам в квантовой механике соответствуют эрмитовы операторы. Соответственно, если эта величина меняется во времени, то логично предположить, что матрица эрмитового оператора должна меняться во времени. Действительно, исторически Дирак, Гейзенберг и другие, именно так и описывали динамику квантовых систем. Сейчас данный подход известен как «представление Гейзенберга».

С другой стороны мы видели, что для расчетов удобно использовать векторы состояния. Например, вероятность события можно найти как квадрат абсолютного значения произведения соответствующих бра- и кет- векторов. Тогда удобно представить себе векторы состояния меняющимися во времени. Данный подход известен как «представление Шредингера». Эти два подхода эквивалентны и позднее мы покажем связь между ними.

Давайте остановимся на картине Шредингера, где со временем изменяется вектор состояния. Изменение вектора всегда можно представить действием на него линейного оператора. Пересмотрите восьмую часть где приводится аналогия с обычными векторами на плоскости.

Итак, вектор состояния в последующий момент времени можно представить действием оператора на вектор в начальный момент времени. За пси-ноль обозначен кет-вектор начального состояния. За пси-t – конечного состояния в момент времени t. Оператор U называется оператором эволюции во времени.

Оператор эволюции обладает рядом свойств. Во-первых это линейный оператор, как и все операторы в квантовой механике. То есть если наш вектор пси представляется суперпозицией базисных векторов, можно просто раскрыть скобки и подействовать оператором на каждый из базисных векторов.

Еще одно накладываемое ограничение на оператор эволюции несет в себе глубокий физический смысл. Мы хотим, чтобы оператор эволюции не менял норму вектора. То есть если исходный вектор состояния нормирован, конечный вектор состояния также останется нормированным. Норма векторов состояния не меняется со временем.

Вспомним, что физическим смыслом нормированного вектора является то, что сумма вероятностей всех альтернативных событий равна 100%. Сохранение нормировки означает, что события не исчезают и не появляются новые. Со временем могут лишь меняться распределения вероятностей между теми или иными альтернативами, но сумма всегда даст 100%. Один раз отнормированный вектор всегда останется нормированным.

Данное утверждение фактически эквивалентно закону сохранения информации. Информация не появляется и не исчезает. Данный принцип хотя и вносится в виде постулата, считается сейчас одним из самых фундаментальных. Опять же нет смысла лишний раз говорить, что он многократно проверялся экспериментально с колоссальной точностью.

Итак, пусть у нас имеется нормированный вектор. Подействуем на исходный кет-вектор оператором эволюции. Эрмитовым сопряжением обеих частей равенства получим аналогичное выражение для бра-вектора. Но мы хотим чтобы конечный вектор также был нормирован. То есть скалярное произведение пси-t с самим собой должно равняться единице. Видим, что для соблюдения корректности выражения, произведение оператора эволюции на свое сопряжение должно равняться единичной матрице.

Операторы, удовлетворяющие данному свойству, называются унитарными. Видно также, что эрмитово-сопряженная матрица должна равняться обратной. Умножение матрицы на свою обратную как раз дает единичную матрицу. То есть условие унитарности можно также представить как равенство обратной и эрмитово-сопряженной матриц.

До настоящего времени нам встречались только эрмитовы операторы у которых операция эрмитового сопряжения ничего не делает с матрицей. В случае унитарных операторов операция эрмитового сопряжения переводит исходную матрицу в обратную матрицу.

Еще раз повторю этот важный факт: Любое изменение квантовомеханической системы описывается действием унитарного оператора.

Ну и напоследок приведем конкретный пример. В пятнадцатой части мы говорили об интерференции кубита в интерферометре Маха-Цендера. Сейчас мы можем пересмотреть его на более детальном уровне. Напомним что тут происходит. Испускаемый лазером фотон попадает на полупрозрачное зеркало. Две альтернативные траектории с помощью зеркал сводятся вместе на втором полупрозрачном зеркале. Квантовая механика говорит, что все фотоны на выходе прибора будут двигаться вниз.

Разобьем траекторию фотона на четыре интервала времени.

t0-исходный момент, до попадания фотона в прибор.

t1 – фотон прошел первое полупрозрачное зеркало;

t2 – фотон прошел зеркало;

t3 – фотон прошел второе полупрозрачное зеркало.

Каждый переход от одного момента времени к другому должен описываться оператором эволюции. Соответственно имеем три оператора. Обозначим их за U01, U12 и U23.

Поскольку операторы U01 и U23 фактически соответствуют одному и тому же физическому процессу – прохождению фотоном полупрозрачного зеркала – они представляются одной и той же матрицей. Ее можно представить в следующем виде. Оператору U12, который описывает прохождение фотоном зеркала, также соответствует матрица. Проверьте, что эти матрицы унитарные.

Осталось задать матричный вид вектора состояния. За базисные векторы мы брали направление движения фотона: «сверху-вниз» и «снизу-вверх». Обозначим за [1 0] кет вектор «сверху-вниз», а за [0 1] вектор «снизу-вверх».

Исходный вектор состояния в момент t0 это базисный вектор «движется вниз». Умножив матрицу U01 на этот вектор получим вектор состояния после прохождения первого полупрозрачного зеркала. Видим, что теперь мы имеем суперпозицию базисных векторов «вверх» и «вниз». Далее у нас идет зеркало. Умножим матрицу U12 на получившийся вектор состояния. Вектор не изменился. Данная матрица просто меняет местами амплитуды вероятности «вверх» и «вниз». Поскольку в нашем случае они равны, матрица не поменяла вектор-столбец. Заметьте, что если в данный момент провести измерение, то с 50%-ой вероятностью окажется, что фотон движется вверх и с 50%-ой вниз.   Для перехода к моменту t3 умножим матрицу U23 на вектор состояния. Мы получим исходный базисный вектор «движется сверху вниз».

Мы наблюдаем интерференцию фотона с самим собой. Все фотоны на выходе прибора будут двигаться вниз.