Волновая функция. Координатный базис.

Когда мы говорили про двухщелевой эксперимент мы вкратце рассматривали координатный базис. Когда электрон попадает на фоточувствительный экран и оставляет точку, его вектор состояния коллапсирует в базисный вектор состояния, соответствующий этой координате. Но принцип суперпозиции говорит, что наиболее общий вектор состояния в таком координатном базисе описывается суммой всех базисных векторов с комплексными коэффициентами.

Перепишем выражение через знак суммы. Мы говорили, что комплексныекоэффициенты с_i есть амплитуды вероятности попадания электрона в соответствующую точку. Они равны произведению данного вектора состояния с соответствующими базисными векторами.

Эти амплитуды вероятности можно представить как точки некой функции, зависящей от х. Эта комплекснозначная функция называется волновой функцией. Получается по- определению значение волновой функции в точке x_i есть амплитуда вероятности при измерении обнаружить там частицу.

Чтобы перейти от дискретных точек к непрерывным величинам надо заменить сумму интегралом. К сожалению, без производных и интегралов в современной физике обойтись не удастся. Мы и так довольно долго их избегали.

Итак, мы получили не совсем привычное выражение. Под интегралом стоит вектор состояния, умножаемый на обычную функцию. В результате также получается вектор состояния. Непонятно что означает такой интеграл и как его вычислять.

В левой части равенства у нас стоит вектор состояния, который ненаблюдаем в принципе. Давайте домножим обе части равенства на бра-вектор фи. Теперь слева у нас получилась амплитуда вероятности, то есть комплексное число. В интеграле тоже получилась амплитуда вероятности. Поменяем местами фи и икс в амплитуде. При этом надо поставить знак комплексного сопряжения. Амплитуду, стоящую под интегралом мы ранее и называли волновой функцией. Только теперь волновая функция фи входит комплексно-сопряженной.

Теперь интеграл получился совсем обычный. От минус бесконечности до бесконечности от произведения двух функций. Как и положено определенному интегралу он дает число, в общем случае комплексное.

Но ведь амплитуда вероятности это скалярное произведение бра-вектора с кет-вектором. Получается, что получившийся интеграл дает скалярное произведение двух функций. Саму функцию можно отождествить с кет-вектором. Комплексно-сопряженную функцию с бра-вектором. Получается, что функция — это просто вектор, живущий в таком бесконечномерном Гильбертовом пространстве.

Давид Гильберт получил данный результат чисто из математических соображений незадолго до появления самой квантовой механики. Как и в случае матриц никто не думал, что он будет иметь какое-то фундаментальное отношение к физике. Удивительно, что такая довольно абстрактная математика вытекает и из результатов физических экспериментов.

Ранее мы записывали кет-вектор в виде вектор-столбца. Поскольку функция это просто вектор, ее тоже можно аппроксимировать вектор-столбцом. Компонентами такого вектора являются значения волновой функции в точках, то есть соответствующие амплитуды вероятности. Комплексно-сопряженная волновая функция аппроксимируется вектор-строкой.

Представлять себе непрерывную функцию как вектор очень удобно, поскольку вся рассматриваемая нами математика векторов остается справедливой.

Аналогия между векторами и функциями не просто условная, а является  100%-ным совпадением. Можно, например, говорить об ортогональных функциях по аналогии с ортогональными векторами. Если скалярное произведение двух функций равно нулю, то эти функции ортогональны. Например, функции синус и косинус ортогональны поскольку их скалярное произведение равно нулю.

Можно говорить о разложении функции на сумму базисных функций с определенными коэффициентами. Ряд Фурье есть не что иное как разложение функции на сумму ортогональных базисных функций – синусов и косинусов.

Можно говорить о смене базиса. Например, разложить функцию не по синусам и косинусам, а по каким-нибудь другим ортогональным функциям. В этом ключе вейвлет-преобразования можно мыслить как разложение функции в разных базисах, образованных разными вейвлетами, то есть базисными функциями.

А как же операторы и их набор собственных векторов и собственных значений?

По определению, вектор называется собственным вектором оператора, если все действие оператора на вектор сводится к умножению его на число – собственное значение.

Такое определение можно перенести и на функции. Возьмем скажем функцию sin(x). А в качестве оператора – оператор взятия второй производной. Видим, что функция sin(x) является собственной для данного оператора с собственным значением -1. Действительно, вторая производная от sin(x) дает –1*sin(x).

Но ранее мы представляли операторы квадратными матрицами. Неужто оператор производной тоже можно представить матрицей? Оказывается да. Операции дифференцирования и интегрирования функций можно свести к простому умножению матрицы на вектор-столбец. Матрицы должны быть бесконечномерными с плавно меняющимся индексом, чтобы получить точный результат. Но для компьютерных численных вычислений можно ограничиться и конечными, но большими матрицами и векторами.   

Сами волновые функции можно представлять графически, как и любые другие функции. Но не следует забывать, что волновая функция комплекснозначная, поэтому изображают или ее действительную часть или мнимую часть, а чаще квадрат абсолютного значения, поскольку он соответствует функции распределения вероятностей. Это прямое следствие того, что значения волновой функции в точках являются амплитудами вероятностей.

Квантовомеханические векторы состояния имеют единичную длину, то есть нормированы. Поэтому их скалярное произведение с самим собой должно давать единицу. Как мы видели, для волновых функций скалярное произведение определяется через интеграл. Требование нормировки говорит, что площадь под графиком квадрата волновой функции равна единице. Волновая функция не может уходить в бесконечность. Обычно она стремится к нулю в пределе ±∞. Чем больше значение квадрата волновой функции на выбранном интервале, тем больше вероятность при измерении обнаружить там частицу. Но сумма всех вероятностей должна равняться 100%.

В общем волновая функция является удобным представлением вектора состояния в случае бесконечномерного непрерывного базиса, такого как координатный базис. Сама волновая функция комплекснозначная и она содержит информацию об амплитудах вероятности при измерении обнаружить частицу в том или ином месте. Она не описывает «размазанный в пространстве электрон». Она является вектором состояния и потому также ненаблюдаема в принципе. При измерении она также коллапсирует в одну из базисных функций на которых мы остановимся в следующий раз.