Оператор импульса и уравнение Шредингера в координатном базисе

В 41 части мы получили уравнение Шредингера из основных свойств оператора эволюции во времени.

По определению оператор эволюции переводит вектор состояния в начальный момент времени в вектор в последующий момент времени. Оператор эволюции переходит в единичную матрицу если этот момент времени равен исходному и линейно меняется при малом Δt. Чтобы оператор H получился эрмитовым, из него выносится множитель -i.

Оператор эволюции унитарен, то есть действуя на вектор он не меняет его длину. Также если разбить интервал времени на два, то оператор эволюции разбивается на произведение двух операторов.

Исходя из этих свойств мы получили уравнение Шредингера для оператора эволюции. Можно сократить оператор эволюции в обоих частях равенства и получить операторное равенство. То есть оператору энергии (Гамильтониану) соответствует оператор взятия производной по времени, умноженный на мнимую единицу.

Можно представить себе, что этот оператор действует на волновую функцию. Действие оператора Гамильтона на волновую функцию сводится к взятию ее производной по времени и умножению на i. Но волновая функция — это распределение амплитуд вероятности в пространстве, то есть она является функцией не только времени, но и координаты x.

На некотором довольно абстрактном уровне оператор эволюции можно рассматривать как сдвиг волновой функции во времени. Аналогично можно рассмотреть оператор, сдвигающий волновую функцию в пространстве.

Все свойства такого оператора будут идентичны оператору эволюции при условии, что переменная t меняется на x.

Так если мы сдвигаем волновую функцию на нулевое расстояние, то оператор ничего не делает и равен единичной матрице. При малом смещении Δx оператор линейно меняется пропорционально этому Δx. То есть он равен тождественному оператору плюс, оператору, умноженному на Δx. Обозначим его буквой p. Чтобы оператор p получился эрмитовым, из него также необходимо вынести множитель -i.

Операция смещения всей волновой функции не меняет площадь под кривой, а значит норма не меняется и оператор сдвига тоже унитарен, как и оператор эволюции.

Если мы хотим сместить волновую функцию скажем на 3 см, то ее можно сместить сначала на 1, а потом еще на 2. То есть композиционное свойство также соблюдается.

Вся математика идентична оператору эволюции и в итоге мы также получим, что оператор p соответствует взятию производной (но уже по координате) и умножению на мнимую единицу.

На самом деле еще добавляется знак минус из-за того, что вектор состояния сдвинутый вправо на dx соответствует волновой функции с аргументом (x-dx).

Оператор p является оператором импульса и мы получили его представление в координатном базисе.

Напомним, что в классической механике импульс частицы равен произведению ее массы на скорость. С первого взгляда квантовомеханический оператор импульса не имеет ничего общего с классическим. Однако он сводится к нему при переходе от квантовой механике к классической.

В классической механике кинетическая энергия равна mv²/2 или если записать через импульс, то p²/2m.

Мы можем подставить вместо р квантовомеханический оператор импульса. Только возведение в квадрат надо рассматривать не как степень, а как р*р, то есть применение оператора р два раза. В итоге получаем вторую производную по х, а i² дает знак минус.

Оператор Гамильтона является оператором энергии, то есть равен сумме кинетической и потенциальной энергии. Соответственно в координатном базисе он будет иметь следующий вид.

 В 41 части мы получили уравнение Шредингера для вектора состояния. От такой компактной но довольно абстрактной записи можно теперь перейти к уравнению Шредингера для волновой функции в координатном базисе. Достаточно просто подставить вместо вектора состояния волновую функцию, а вместо абстрактного Гамильтониана его координатное представление.

Получившееся уравнение очень похоже на многие другие уравнения математической физики. Математика дифференциальных уравнений в частных производных была более знакома современникам Шредингера, чем математика абстрактных векторов и операторов в Гильбертовом пространстве.

Большинство физиков занялось решением данного уравнения применительно к частным случаям. В принципе можно не особо задумываться над постулатами квантовой механики, чтобы просто аналитически или численно решить уравнение и получить результаты, согласующиеся с экспериментом. Можно найти спектры атомов, свойства молекул, твердых тел, электрические свойства металлов, полупроводников.

Именно поэтому квантовая механика стала многими некорректно представляться как еще одна классическая теория поля, наподобие электродинамики Максвелла. Только вместо электрического и магнитного полей здесь рассматривается поле, задаваемое волновой функцией. Даже сам Шредингер мыслил волновую функцию как электронное облако, то есть распределение в пространстве массы и электрического заряда электрона.

Хотя Шредингер первым получил основное уравнение нерелятивистской квантовой механики, самого его сложно отнести к отцам-основателям этой новой теории. Он пришел к уравнению совсем из других, классических соображений, мысля в терминах волн материи. В отличие от Гейзенберга, Дирака, Паули, Бора он не понимал смысла волновой функции и своего собственного уравнения. Как и Эйнштейн он приложил руку к созданию квантовой механики, но не верил в нее. Как и Эйнштейн, он до конца жизни безуспешно искал способы показать несостоятельность квантовой механики. Вспомните, например, его мысленный эксперимент с котом.