Спин электрона. Часть 6 – Запутанные состояния (Entanglement).

Со спином отдельно взятого электрона мы практически разобрались. Но квантовая механика очень странно обходится с системами из нескольких частиц. Рассмотрим систему из двух электронов (опять учитываем только спин). Казалось бы, если спин первого электрона описывается вектором состояния:

\( \displaystyle |1\rangle= a_{1}|\uparrow\rangle+b_{1} |\downarrow\rangle\),

а спин второго вектором:

\( \displaystyle |2\rangle= a_{2}|\uparrow\rangle+b_{2} |\downarrow\rangle\),

то оба одновременно описываются их комбинацией (тензорным произведением):

\( \displaystyle |12\rangle= (a_{1}|\uparrow\rangle+b_{1} |\downarrow\rangle)\otimes(a_{2}|\uparrow\rangle+b_{2} |\downarrow\rangle)= \) \( \displaystyle a_{1}a_{2}|\uparrow\uparrow\rangle+a_{1}b_{2} |\uparrow\downarrow\rangle)+b_{1}a_{2} |\downarrow\uparrow\rangle)+b_{1}b_{2} |\downarrow\downarrow\rangle\)

В принципе какие-то из коэффициентов могут равняться нулю. Например, вектор состояния системы двух электронов где спин и первого и второго направлен вверх по оси z описывается вектором:

\( \displaystyle |12\rangle=|\uparrow\rangle\otimes |\uparrow\rangle=|\uparrow\uparrow\rangle\)

Этот вектор состояния тоже можно представить вектор-столбцом, но уже размером 4 х 1. Однако, система из двух электронов может также описываться таким вектором, который нельзя разложить на произведение независимых векторов состояния, например:

\( \displaystyle |S\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow\downarrow\rangle-|\downarrow\uparrow\rangle)\)

Это вполне себе имеющий право на существование вектор состояния (называется синглетное состояние – singlet state). Электроны находясь вблизи друг друга стараются ориентировать спины в противоположные стороны. Им так более энергетически выгодно. Вспомните хотя бы химию – на данном энергетическом уровне могут находится только два электрона с противоположными спинами (принцип запрета Паули).

Данное состояние – это пример запутанного состояния (entangled state). В английском даже есть существительное — entanglement, которое можно перевести как квантовая запутанность. Явление очень интересное и не имеющее классических аналогов.

Вектор состояния несет в себе полную информацию о рассматриваемой системе (спины двух электронов в нашем случае). Мы в принципе не можем знать ничего большего о системе и в то же время в случае синглетного состояния мы ничего не можем сказать о каждом из спинов в отдельности. Все что мы можем извлечь – это информация касательно обоих спинов. Если спин первого измерен «вверх», то спин второго обязательно будет «вниз» (относительно той же оси). И наоборот, если спин первого измерен «вниз», то спин второго будет «вверх». При измерении мы получаем один из базисных векторов, а в синглетном состоянии их только два.

То есть в квантовой механике есть ситуации, когда полное знание о системе не предполагает полное знание о ее составляющих. В классической механике если мы знаем все о элементарных составляющих, мы можем узнать как поведет себя система в целом. Это известно как редукционизм – попытка разобрать исследуемый объект на как можно меньшие кусочки и исследовать их поведение (от простого к сложному). Он работал вплоть до молекул, частично работает и с атомами, но на субатомных расстояниях перестает работать. Можно показать, что измеряя спин одного из электронов пары в синглетном состоянии мы всегда получим 50% того, что спин направлен «вверх» и 50%, что он направлен «вниз» относительно любой оси. Такого не было, когда мы описывали спин одного электрона. Например, если электрон сейчас в состоянии «вверх» относительно оси z, то вероятность того, что его спин «вверх» относительно перпендикулярной оси составляет 50%, но относительно исходной оси z вероятность измерения спина «вверх» остается 100% (до измерения относительно другой оси конечно). Для электронов в синглетном состоянии выделенного направления не существует. Мы ничего не можем сказать о спине одного из электронов этой пары кроме того что он абсолютно случаен.

Еще одной особенностью является то, что корреляции спинов сохраняются на любых расстояниях. Или другими словами — описание комбинированной системы одним вектором состояния сохраняется на любых масштабах. Можно взять два электрона в синглетном состоянии и разнести их на разные концы вселенной и все равно, если мы измерим спин относительно любой оси и получим скажем «вверх», то мы сразу же узнаем, что другой спин относительно этой же оси будет «вниз».

Видео красивое, но не отражает сути — векторы спина никуда не направлены до измерения, а после измерения запутанное состояние разрушается и мы попадаем в один из базисных векторов.

Можно провести аналогию с классическими статистическими корреляциями. Возьмем красный и синий шарики, перемешаем их у себя за спиной и возьмем по одному в каждую руку. Теперь если мы посмотрим какой шарик оказался в правой, скажем синий, то мы сразу же не глядя узнаем, что в левой руке будет красный. Отличительной особенностью квантовой механики является то, что в отличие от цвета шарика, до измерения спин не определен (он никуда не был направлен). На видео как всегда это некорректро показано. Ось измерения мы тоже можем выбрать совершенно произвольно — любой из бесконечно возможных углов. И как только спин стал определен здесь, он мгновенно стал определен и на другом конце вселенной.

Опять же не надо воспринимать видео буквально. Спин это не вектор и квантовомеханические корреляции это не классические корреляции угла вектора спина. Все не так! Как на самом деле представить себе нельзя, поэтому будем довольствоваться. Да и спины там параллельны, а не антипараллельны как в синглетном состоянии.

Однако передавать информацию быстрее скорости света этот эффект все равно не позволяет. Необходимо передать информацию о направлении выбранной оси и результате своего измерения чтобы предсказать результат на другой стороне. Без этой информации результаты измерения спина «вверх» или «вниз» одного электрона абсолютно случайны.

Данные квантовомеханические корреляции (запутанные состояния) вводили в заблуждение многих, в том числе Эйнштейна. Например, известный парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена был призван показать, что объективная реальность все же существует. Если, например, в результате распада одной частицы получаются разлетающиеся в противоположные стороны две частицы, то Эйнштейн предложил измерить координату первой и импульс (скорость) второй. И из закона сохранения импульса косвенно вычислить импульс первой частицы. Таким образом узнав и координату и скорость мы вернемся в классический мир с траекториями и всегда строго определенными величинами. Но этого не происходит.  Он не учитывал что эти две частицы находятся в запутанном состоянии, описываются одним вектором состояния, и действия с одной влияют на другую. Но статья дала толчок в изучении таких систем. Их даже иногда называют EPR-пары (Einstein-Podolsky-Rosen).

Действительно, если система находится в запутанном состоянии, то измерение в одном месте влияет на результат измерения в другом. Как мы выяснили все дело в том что они описываются единым вектором состояния (даже если частицы пространственно разделены), который нельзя разложить на два независимых. В классической механике пространственно разделенные объекты всегда можно рассматривать независимо. В квантовой механике нет — тут интуиция опять подводит.

Можно сравнить эксперимент с попыткой одновременно узнать спин в направлении z и перпендикулярном направлении y (пусть даже и косвенно). Это невозможно. Свойства систем в запутанном состоянии запрещают даже косвенные измерения не коммутирующих величин одновременно. Мало того, что они не существуют до измерения, так их еще и измерить одновременно нельзя. Измерение одного свойства затирает (делает неактуальной) информацию о другом. Это могут быть и пара величин «спинX»-«спинY», и «координата»-«импульс», и любых других чьи операторы не коммутируют.