Ожидаемые значения наблюдаемой величины
Переход от квантовой механики к классической происходит усреднением по большому количеству частиц. Рассмотрим как вычислять средние значения в квантовой механике.
Для начала вспомним как вычисляется среднее в классической теории вероятностей. Пусть мы подбрасываем монетку и выигрываем один рубль если выпал орел и проигрываем рубль если выпала решка. Для нахождения среднего выигрыша за один бросок необходимо просто найти среднее арифметическое. Оно равно нулю, что и следовало ожидать. При честной монетке мы в среднем не выигрываем и не проигрываем.
Рассмотрим подбрасывание игральной кости. Пусть мы выигрываем столько сколько выпало при броске, то есть от одного до шести. Чтобы найти средний выигрыш за один бросок нам опять достаточно найти среднее арифметическое. То есть 1+2+3+4+5+6 деленное на шесть. Это и есть средний выигрыш на один бросок — 3.5 рубля.
Рассмотрим подбрасывание двух костей одновременно. За один бросок суммарное число может находится от двух, если выпало две единицы, до двенадцати, если выпали две шестерки. Но вероятности выпадения той или иной суммы уже не равны друг другу. В сумме семерка выпадает с наибольшей вероятностью, поскольку получается наибольшими вариантами комбинаций. Может выпасть 1 и 6 или 2 и 5 или 4 и 3. Числа 2 и 12 выпадают с наименьшей вероятностью, поскольку получаются только при выпадении двух единиц или двух шестерок.
При неравных вероятностях среднее находится следующим образом:
2*(1/36)+3*(1/18)+4*(1/12)+…+12*(1/36)=7
То есть складываются произведения выпавшего значения и соответствующей вероятности. Мы получили число семь, то есть в два раза больше чем в случае одной кости, что и следовало ожидать. Сокращенно данное выражение удобно записать через знак суммы. Среднее значение случайной величины A равно сумме возможных значений этой величины, умноженных на вероятности выпадения этих значений. Не путайте скобочки в обозначении среднего со скобочками бра- и кет- векторов. Среднее арифметическое есть лишь частный случай когда все вероятности равны друг другу.
Для одной игральной кости это 1*(1/6)+2*(1/6)+3*(1/6)+4*(1/6)+5*(1/6)+6*(1/6)
Для рассмотренного случая с монеткой это -1*(1/2)+1*(1/2)
Приведенная формула работает и в квантовом случае. Ее лишь надо перевести на язык квантовой механики. Наблюдаемые величины в квантовой механике представляются операторами. Возможные результаты измерения наблюдаемой величины есть собственные значения оператора.
Вероятность того что при измерении получим данное собственное значение есть квадрат абсолютного значения соответствующей амплитуды вероятности. То есть скалярного произведения исходного вектора состояния с собственным вектором оператора, соответствующим данному собственному значению.
Среднее в квантовой механике называется также ожидаемой величиной. Это просто число. Данную формулу можно красиво переписать, используя только сам оператор А. Квадрат абсолютного значения можно найти как произведение комплексного числа на свое сопряжение. От комплексного сопряжения можно уйти поменяв местами бра- и кет-векторы.
Собственные значения ai это просто числа, их можно поставить в любое место выражения. Поставим их перед собственными кет-векторами. Но ведь по определению собственные векторы оператора это такие векторы, действие оператора на которые эквивалентно умножению на собственное значение. То есть произведение собственного значения на собственный вектор можно заменить действием оператора на этот вектор.
Осталось только заметить, что оставшаяся сумма равна единице. Суммируются операторы проекции на базисные векторы, которые мы рассматривали в предыдущем видео. Их сумма равна единичной матрице и мы приходим к элегантной формуле для среднего значения наблюдаемой величины. В квантовой механике она еще называется ожидаемым значением.
То есть если система находится в состоянии пси и мы хотим узнать среднее значение величины, описываемой оператором А, необходимо умножить матрицу оператора на кет-вектор. Получим другой кет-вектор. Скалярное произведение бра-вектора с этим кет-вектором есть среднее значение.
Поскольку оператор А эрмитов, эрмитово-сопряженная матрица идентична изначальной. Действие оператора на бра-вектор характеризуется той же матрицей. Можно сначала умножить бра-вектор на оператор и получить другой бра-вектор. Скалярное произведение получившегося бра-вектора с кет-вектором даст то же самое среднее значение.
