Как квадрат может быть окружностью: Манхэттенская метрика и метрика Чебышева

Метрика ответственна за геометрию пространства. Геометрия это в первую очередь длины. По сути задание метрики сводится к заданию формулы вычисления длин. Сгенерируем несколько случайных точек на плоскости:

 

Расстояние от начала координат до точки можно найти из ее декартовых координат \( (x,y) \) по теореме Пифагора:

\( \displaystyle d=\sqrt{x^2+y^2} \)

Данная формула и задает метрику Евклида. Она позволяет вычислять расстояния между точками. Любые геометрические фигуры есть просто множества точек. Вспомним школьное определение окружности: геометрическое место точек, удаленных на одинаковое расстояние от одной точки — центра окружности. Возьмем для простоты центр окружности в начале координат и будем рисовать только те случайные точки, которые оказались удаленными на примерно одно и то же расстояние от центра. Скажем, точки для которых расстояние от начала координат попало в небольшой интервал \( \displaystyle 0.49<d<0.5 \).

 

Естественно мы получили окружность. Кажется, что других вариантов для вычисления расстояния быть не может. В рамках привычной нам Евклидовой геометрии это действительно так. Однако, было обнаружено, что существуют и другие геометрии. И они определяются заданием другой метрики. Переместим нашу окружность в Манхэттенскую геометрию, расстояния между точками в которой вычисляются по формуле:

\( \displaystyle d= |x|+|y| \)

то есть просто сумма декартовых координат без учета их знака:

 

Это тоже окружность! Все точки равноудалены от центра. Просто расстояния в этой геометрии вычисляются чуть-чуть по другому. В программе поменялась всего одна строчка, вычисляющая \( \displaystyle d \), то есть метрика.

Давайте еще раз перенесем нашу окружность в другой мир с другой геометрией. Будем вычислять расстояния с помощью метрики Чебышева:

\( \displaystyle d= max(|x|,|y|) \)

то есть расстояние — это наибольшая из координат без учета знака.

 

По определению, это тоже окружность! Все точки равноудалены от центра. Окружность в пространстве Чебышева.

 

Если дочитали до конца, поддержите автора!

Все теперь в телеграм: https://t.me/lightcone_qm