Релятивистское движение с ускорением. Горизонт событий.
Преобразования Лоренца связывают координаты точки (t, x, y, z) пространства Минковского одной системы отсчета с координатами точки в другой системе отсчета (t‘, x‘, y‘, z‘), движущейся с постоянной скоростью \( \displaystyle v \) относительно первой. Преобразования удобно записывать в виде умножения матрицы на вектор-столбец координат. В такой записи преобразования Лоренца выглядят как:
\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-v^2}} \begin{pmatrix}1&v \\
v&1
\end{pmatrix} \binom{t’}{x’} =\binom{t}{x} \)
Рассматривается одномерный случай и скорость света принята равной единице.
Если задать начальные координаты точки (t=0; x=2 на видео ниже) и на каждом шаге итерации изменять координаты, умножая вышеприведенную матрицу преобразования на текущие координаты, получим:
Время отложено по вертикали, пространственная координата x по горизонтали, скорость равна 0.1 от скорости света. Преобразования Лоренца — это преобразования координат, то есть пассивные преобразования. Но их можно рассматривать и как активные преобразования и интерпретировать получившуюся кривую как траекторию системы, движущейся с постоянным ускорением.
Видим, что ускоренный наблюдатель в пространстве-времени движется по гиперболе. На каждом шаге к вектор-столбцу координат применяется одна и та же матрица преобразования, но скорость не увеличивается каждый раз в два раза, а сдерживается Лоренцевым фактором с корнем. Она никогда не превысит скорость света, но будет к ней ассимптотически приближаться. Прямая на видео (по сути график функции x=t ) как раз траектория светового луча — часть светового конуса начала координат. Наклон траектории ускоренного наблюдателя стремится к 45° — углу светового луча в используемых нами координатах.
Интересно рассмотреть мировые линии (траектории в пространстве-времени) сразу двух наблюдателей — неподвижного и движущегося с ускорением:
Неподвижный наблюдатель всегда остается на координате x=2 в любой момент времени и, соответственно, без всяких препятствий пересекает световой конус, который ускоренная система преодолеть не может.
Представим, что он через каждый интервал времени \( \displaystyle \Delta t\) посылает световой сигнал:
После прохождения светового конуса свет от неподвижного наблюдателя уже никогда не достигнет движущейся с ускорением системы. Однако свет от ускоряющейся системы может достичь неподвижную.
Линия \( \displaystyle x=t \) в данном случае является горизонтом событий.
Горизонт событий служит своего рода однонаправленным шлюзом куда можно попасть без проблем (неподвижный наблюдатель вообще ничего не делал чтобы там оказаться), но который является в определенном смысле точкой невозврата. Любая ракета или даже свет уже никогда не догонят ускоряющуюся систему. Для него она потеряна навсегда.
Важно понимать, что горизонт событий является следствием выбранной координатной системы и он не несет в себе никакого материального контекста. Он может быть расположен по-разному для разных наблюдателей. Это просто условная линия в пространстве-времени. Ее пересечение незаметно для пересекающего ее наблюдателя. Горизонт событий условен и его можно провести практически везде соответствующим выбором координат и наблюдателей.
Интересно посмотреть на неподвижного наблюдателя с точки зрения ускоряющегося. Предположим, он наблюдает за сигналами, исходящими от неподвижной системы.
С его точки зрения неподвижная система никогда не пересечет горизонт событий. Она будет все ближе к нему приближаться, но никогда не пересечет. Обратите внимание, что интервал времени неподвижного наблюдателя, по мере приближения к горизонту событий, все более растягивается с точки зрения ускоренного. То есть имеют место релятивистское замедление времени и доплеровский сдвиг частот. Ускоренный наблюдатель будет видеть, что исходящий от неподвижной системы свет смещается в сторону более длинных волн: инфракрасный — микроволновый — радиодиапазон… и в конечном счете частота станет настолько мала, что он вообще не сможет детектировать фотоны.
Поскольку согласно принципу эквивалентности ускоренное движение эквивалентно гравитационному полю, все сказанное справедливо и для горизонта событий черной дыры.
