Теорема о запрете клонирования

Теорема о запрете клонирования является еще одним примером несовместимости повседневной интуиции и квантовой механики. Мы все привыкли, что любой объект можно скопировать, будь то реальный физический предмет или просто информация в виде набора битов. Нам даже уже привычно отделять носитель информации (флэшка, винчестер…) от самой информации. Как только данные оцифрованы, их можно копировать неограниченное число раз с нулевыми потерями.

Оказывается столь повседневная в наше время вещь не является фундаментальной. Даже один единственный квантовый бит (кубит) в общем случае невозможно скопировать. Причем это обусловлено не несовершенством современной техники, а фундаментальным ограничением Природы.

Теорема доказывается очень легко от противного. Все изменения во времени вектора состояния в квантовой механике описываются действием унитарных операторов. Соответственно, должен существовать оператор (назовем его \( \displaystyle \hat{K}\)), осуществляющий операцию копирования. Так, если кубит был в состоянии \( \displaystyle |0\rangle\),  то действие оператора приводит к:

\( \displaystyle \hat{K}|0\rangle=|0\rangle \otimes |0\rangle=|00\rangle\),

где символом \( \displaystyle  \otimes \) обозначено тензорное произведение. Аналогичное выражение для кубита в состоянии \( \displaystyle |1\rangle\):

\( \displaystyle \hat{K}|1\rangle=|1\rangle \otimes |1\rangle=|11\rangle\)

Однако наиболее общее состояние кубита описывается суперпозицией:

\( \displaystyle |\psi\rangle=c_{0}|0\rangle+c_{1}|1\rangle\)

Применяя оператор клонирования получаем:

\( \displaystyle \hat{K}|\psi\rangle=|\psi\rangle \otimes |\psi\rangle=\) \( \displaystyle (c_{0}|0\rangle+c_{1}|1\rangle)\otimes (c_{0}|0\rangle+c_{1}|1\rangle)=\) \( \displaystyle c_{0}c_{0}|00\rangle+c_{0}c_{1}|01\rangle+c_{1}c_{0}|10\rangle+c_{1}c_{1}|11\rangle\)

Но ведь с другой стороны все операторы в квантовой механике линейны. Можно раскрыть скобки и действовать оператором на каждое из слагаемых по отдельности:

\( \displaystyle \hat{K}|\psi\rangle=\hat{K}(c_{0}|0\rangle+c_{1}|1\rangle)=\) \( \displaystyle c_{0}\hat{K}|0\rangle+c_{1}\hat{K}|1\rangle=\) \( \displaystyle c_{0}|00\rangle+c_{1}|11\rangle\)

Мы получили два разных результата для операции клонирования \( \displaystyle \hat{K}|\psi\rangle\), следовательно оператор \( \displaystyle \hat{K}\) не существует.

Квантовая механика является самосогласованной и внутренне непротиворечивой теорией, поэтому невозможность клонирования  можно получить и из других соображений. Например, известный принцип неопределенности Гейзенберга утверждает, что невозможно одновременно измерить координату и скорость частицы с любой степенью точности. В более общем случае одновременно нельзя измерить величины, чьи операторы не коммутируют. Координата и скорость (импульс) являются примером таких операторов, поскольку:

\( \displaystyle \hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x}\neq 0\)

Вектор состояния несет в себе всю информацию о системе. Если бы его можно было клонировать, то стало бы возможным измерить величину  \( \displaystyle \hat{A}\) у одной копии и некоммутирующую с ней величину \( \displaystyle \hat{B}\) другой копии, нарушив тем самым принцип неопределенности.

Теорема утверждает, что невозможно создать устройство, способное клонировать любой кубит. Однако если нам заранее известно состояние кубита (значения амплитуд вероятностей \( \displaystyle c_{0}, c_{1}\)), то создать такие копии возможно. Оператор \( \displaystyle \hat{K}\) в первой и второй формулах делает именно это. Проблема в том, что в процессе измерения вектор состояния коллапсирует и информация об этих коэффициентах теряется. И если у нас изначально нет множества копий исходной системы, то узнать значения коэффициентов из одного измерения невозможно. То есть конвертировать квантовую информацию в классическую тоже не получится. Здесь уже мешает постулат об измерении.

Может показаться, что запрет на клонирование делает принципиально невозможным телепортацию квантовой системы. Неявно подразумевается, что для телепортации необходимо считать всю информацию о системе, передать ее в другое место и использовать для восстановления абсолютно точной копии исходного объекта. Но ведь из-за постулата о измерении даже считать информацию в квантовом случае невозможно. Понятно почему алгоритм квантовой телепортации был открыт только в 1993 году, то есть 70 лет спустя создания самой квантовой механики.

Дублирование классической информации используется и в задачах резервирования данных и  при помехоустойчивом кодировании где избыточность позволяет восстановить искаженные данные. Оказывается и здесь есть квантовый аналог, но работающий по другим принципам.