Уравнение Шредингера. Оператор эволюции во времени.

Все физически наблюдаемые величины в квантовой механике описываются эрмитовыми операторами (матрицами). Матрицы Паули в случае спина могут служить примером. В общем случае вероятности при измерении того или иного результата могут изменятся со временем. Существуют две эквивалентные картины описания временной эволюции квантовых систем:

1. Представление Гейзенберга. Операторы изменяются во времени, а вектор состояния постоянен.
2. Представление Шредингера. Вектор состояния изменяется во времени, а операторы постоянны.

Изменение вектора состояния со временем в картине Шредингера можно представить действием на него некоего оператора \( \displaystyle \hat{U} \) — оператора эволюции во времени:

\( \displaystyle|\psi(t)\rangle = \hat{U}(t)|\psi(0)\rangle \)

Вектор состояния в любой последующий момент времени получается действием оператора на вектор в исходный момент времени. Если произвести операцию эрмитового сопряжения над правой частью равенства, получим:

\( \displaystyle\langle\psi| \hat{U}^{\dagger} \)

Перемножив одно на другое имеем:

\( \displaystyle\langle\psi| \hat{U}^{\dagger}\hat{U}|\psi\rangle \)

Чтобы условие нормировки вероятностей \( \displaystyle\langle\psi| \psi\rangle=1 \) выполнялось и при изменении вектора со временем сумма вероятностей всегда была 100%, необходимо чтобы \( \displaystyle \hat{U}^{\dagger}\hat{U}=\hat{I} \) или, что то же самое \( \displaystyle \hat{U}^{\dagger}=\hat{U}^{-1} \). Операторы, удовлетворяющие данному условию, называются унитарными. Эрмитово сопряженный унитарный оператор является обратным исходному.

Унитарный оператор можно представить как экспоненту от эрмитова оператора, который уже не зависит от времени:

\( \displaystyle\hat{U}(t)=e^{-i\hat{H}t} \)

и эволюцию вектора состояния можно переписать как:

\( \displaystyle|\psi(t)\rangle = e^{-i\hat{H}t}|\psi(0)\rangle \)

Данное выражение является наиболее общим решением уравнения Шредингера:

\( \displaystyle i \frac{d}{dt}|\psi\rangle = \hat{H}|\psi\rangle \)

Действительно, если производная функции пропорциональна самой функции — эта функция является экспонентой. Постоянная Планка принята равной единице. Оператор \( \displaystyle \hat{H} \), называемый оператором Гамильтона или Гамильтонианом, представляет собой оператор энергии. Он является генератором временной эволюции.

Для систем с двумя базисными векторами, таких как кубит, оператор Гамильтона является квадратной матрицей 2х2. Если рассматривать бесконечномерный вектор состояния, например описывающий координату x частицы, компонент вектора (амплитуд вероятности) также бесконечно много. Они формируют так называемую волновую функцию \( \displaystyle \psi (x) \). Значение этой функции в точке x есть амплитуда вероятности обнаружить частицу в данной точке. Она также подчиняется уравнению Шредингера:

\( \displaystyle i \frac{d}{dt}\psi(x) = \hat{H}\psi(x) \)

Оператор Гамильтона в этом случае является бесконечномерной квадратной матрицей. Его можно представить и через более привычные дифференциальные операторы. Энергия складывается из кинетической плюс потенциальной:

\( \displaystyle \hat{H} = \frac{\hat{p}^{2}}{2m}+V(x) \)

где  \( \displaystyle \hat{p}=-i \frac{d}{dx}\) — оператор импульса.

Подставляя все это можно получить форму дифференциального уравнения Шредингера для волновой функции \( \displaystyle \psi (x) \), напоминающую классические уравнения математической физики:

\( \displaystyle i \frac{d\psi(x) }{dt}= -\frac{1}{2m}\frac{d^{2}\psi(x)}{dx^2}+V(x) \psi(x) \)

Оно легко обобщается на случай трех измерений. Важно помнить, что волновая функция не является классическим полем. Она не характеризует распределение в пространстве массы частицы или электрического заряда. Она не является объективно существующим физическим объектом так как ненаблюдаема в принципе. Копенгагенская интерпретация квантовой механики приписывает ей только вероятностные характеристики. Волновой данная функция исторически называется благодаря ее поведению в ограниченных системах типа показанному на видео изменению во времени действительной части третьего собственного вектора (красным) в потенциале гармонического осциллятора (синим).